Trois suites extraites suffisent

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les énoncés du cours sur les suites extraites, et rien de plus — le programme de PTSI exclut tout développement théorique à leur sujet : si une suite a une limite, toutes ses suites extraites $\left(u_{\phi (n)}\right)$, avec $\phi$ strictement croissante, ont la même ; si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ tendent vers la même limite $\ell$, alors $(u_n)$ tend vers $\ell$.

La stratégie. Pour recoller les rangs pairs et impairs, il faut prouver que leurs deux limites sont égales. Aucune hypothèse ne les relie directement ; on fabrique donc des ponts : des suites extraites communes à deux des hypothèses, qui forcent l'égalité des limites par unicité.

a) Les ponts. Notons $p_m=u_{2m}$, $q_m=u_{2m+1}$ et $r_m=u_{3m}$ les trois suites de l'énoncé.

• $u_{6n}=u_{2\times 3n}=p_{3n}$ : la suite $(u_{6n})$ est la suite $\left(p_{\phi (n)}\right)$ avec $\phi (n)=3n$, strictement croissante ; elle est extraite de $(u_{2m})$.
• $u_{6n}=u_{3\times 2n}=r_{2n}$ : elle est aussi extraite de $(u_{3m})$, par $\phi (n)=2n$.
• $u_{6n+3}=u_{2(3n+1)+1}=q_{3n+1}$ : la suite $(u_{6n+3})$ est extraite de $(u_{2m+1})$, par $\phi (n)=3n+1$, strictement croissante.
• $u_{6n+3}=u_{3(2n+1)}=r_{2n+1}$ : elle est aussi extraite de $(u_{3m})$, par $\phi (n)=2n+1$.

Le point délicat. Il ne suffit pas de dire que $(u_{6n})$ est extraite de $(u_n)$ — c'est vrai, et inutile. Il faut lire l'indice $6n$ de deux façons, « deux fois un indice qui croît strictement » et « trois fois un indice qui croît strictement », pour pouvoir appliquer le théorème du cours à chacune des hypothèses.

b) Le recollement. Notons $a$, $b$ et $c$ les limites respectives de $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{3n})$. Par le théorème de transmission de la limite aux suites extraites :

• $(u_{6n})$, extraite de $(u_{2n})$, tend vers $a$ ; extraite de $(u_{3n})$, elle tend vers $c$. Par unicité de la limite, $a=c$.
• $(u_{6n+3})$, extraite de $(u_{2n+1})$, tend vers $b$ ; extraite de $(u_{3n})$, elle tend vers $c$. Donc $b=c$.

Ainsi $a=b$ : les suites des rangs pairs et des rangs impairs ont la même limite. Par le théorème de recollement, $(u_n)$ converge, vers $a$.

c) Aucune des hypothèses n'est superflue. Pairs et impairs seuls. La suite $u_n=(-1{)}^n$ a ses termes de rang pair égaux à $1$ et de rang impair égaux à $-1$ : les deux suites extraites convergent, et la suite diverge. C'est la troisième hypothèse qui manque : $u_{3n}=(-1{)}^n$ ne converge pas.

Pairs et multiples de trois seuls. Posons $u_n=1$ si $n$ n'est divisible ni par $2$ ni par $3$, et $u_n=0$ sinon. Tous les termes de rang pair et tous les termes de rang multiple de trois sont nuls : $(u_{2n})$ et $(u_{3n})$ convergent vers $0$. Mais $6n+1$ n'est divisible ni par $2$ ni par $3$, donc $u_{6n+1}=1$ pour tout $n$ : deux suites extraites ont des limites différentes, et $(u_n)$ diverge.

Ce que l'exercice installe. Les trois usages des suites extraites que retient le programme — transmettre une limite, prouver une divergence, recoller les rangs pairs et impairs — suffisent à un raisonnement fin : les suites extraites servent ici non pas à séparer des limites, mais à les identifier par un pont commun. Pour recoller des morceaux, il faut qu'ils se recoupent.