Une récurrence qui tourne en rond

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le théorème du cours sur les récurrences $u_{n+2}=a{u}_{n+1}+b{u}_n$ ($b\ne 0$) : si les coefficients sont réels et que les racines de l'équation caractéristique $r^2=ar+b$ sont complexes conjuguées, $\rho e^{\pm i\theta }$, les solutions réelles sont exactement les suites ${\rho }^n(\lambda \cos (n\theta )+\mu \sin (n\theta ))$.

a) La période six. Les racines. L'équation caractéristique est $r^2=r-1$, soit $r^2-r+1=0$, de discriminant $1-4=-3<0$ : deux racines complexes conjuguées, $$r=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}.$$ Leur module vaut $\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1$, et un argument $\theta$ vérifie $\cos \theta =\frac{1}{2}$ et $\sin \theta =\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$, d'où $\theta =\pm \frac{\pi }{3}$ : les racines sont $e^{i\pi /3}$ et $e^{-i\pi /3}$.

Les solutions. Avec $\rho =1$ et l'argument $\frac{\pi }{3}$, le théorème du cours donne les solutions réelles : $$u_n=\lambda \cos \frac{n\pi }{3}+\mu \sin \frac{n\pi }{3},(\lambda ,\mu )\in {\mathbb{R}}^2.$$ Remplacer $n$ par $n+6$ augmente l'angle de $6\times \frac{\pi }{3}=2\pi$, ce qui ne change ni le cosinus ni le sinus : $u_{n+6}=u_n$. Toute solution est périodique de période $6$.

La vérification directe. Avançons de trois pas dans la récurrence : $$u_{n+3}=u_{n+2}-u_{n+1}=(u_{n+1}-u_n)-u_{n+1}=-u_n.$$ Trois pas changent le signe ; six pas le rétablissent : $u_{n+6}=-u_{n+3}=u_n$. On le lit aussi sur les racines : ${\left(e^{i\pi /3}\right)}^3=e^{i\pi }=-1$ et ${\left(e^{i\pi /3}\right)}^6=1$. Par exemple, avec $u_0=2$ et $u_1=5$, la suite vaut $2,5,3,-2,-5,-3$, puis recommence : $2,5,3,\dots$

Le point délicat. La démonstration directe tient en une ligne, mais elle ne dit pas pourquoi c'est $6$. Les racines le disent : leur argument est $\frac{\pi }{3}$, et $6$ est le plus petit entier $T\ge 1$ tel que $T\times \frac{\pi }{3}$ soit un multiple de $2\pi$.

b) Le cas général. Les solutions. L'équation caractéristique $r^2-2\cos \theta r+1=0$ a pour discriminant réduit ${\cos }^2\theta -1=-{\sin }^2\theta$, strictement négatif puisque $\sin \theta >0$ pour $\theta \in \left]0,\pi \right[$. Ses racines sont $$r=\cos \theta \pm i\sin \theta =e^{\pm i\theta },$$ distinctes et de module $1$. Le théorème du cours, avec $\rho =1$, donne exactement les solutions réelles annoncées : $u_n=\lambda \cos (n\theta )+\mu \sin (n\theta )$.

Si $\frac{\theta }{\pi }$ est rationnel, écrivons $\frac{\theta }{\pi }=\frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers strictement positifs, ce qui est possible car $\theta >0$. Alors $2q\theta =2p\pi$, et pour toute solution $$u_{n+2q}=\lambda \cos (n\theta +2p\pi )+\mu \sin (n\theta +2p\pi )=u_n:$$ toutes les solutions sont périodiques, de période $2q$.

Réciproquement, supposons toutes les solutions périodiques. En particulier la solution $(\cos (n\theta ))$, obtenue pour $\lambda =1$ et $\mu =0$, a une période $T_1\ge 1$, et la solution $(\sin (n\theta ))$ une période $T_2\ge 1$. Le produit $T=T_1{T}_2$ est une période commune, car un multiple d'une période est une période (par récurrence sur le nombre de périodes parcourues). Alors, pour tout $n$, $$e^{i(n+T)\theta }=\cos ((n+T)\theta )+i\sin ((n+T)\theta )=\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )=e^{in\theta }.$$ Pour $n=0$ : $e^{iT\theta }=1$, donc $T\theta$ est un multiple de $2\pi$, disons $T\theta =2k\pi$ avec $k$ entier, et $\frac{\theta }{\pi }=\frac{2k}{T}$ est rationnel. Les solutions sont toutes périodiques si et seulement si $\frac{\theta }{\pi }$ est rationnel.

L'interprétation. La suite $u_n=\lambda \cos (n\theta )+\mu \sin (n\theta )$ est formée des valeurs de la sinusoïde $s(t)=\lambda \cos t+\mu \sin t$, de période $2\pi$, aux instants $0,\theta ,2\theta ,\dots$ : c'est un échantillonnage de pas $\theta$. Le résultat dit que la suite échantillonnée est périodique si et seulement si le pas d'échantillonnage et la période du signal sont commensurables. Pour $\theta =\frac{2\pi }{5}$, la suite $\left(\cos \frac{2n\pi }{5}\right)$ vaut $1$ ; $0,309$ ; $-0,809$ ; $-0,809$ ; $0,309$, puis recommence : période $5$. Pour $\theta =1$ radian, la suite $(\cos n)$ n'est pas périodique, puisque $\frac{1}{\pi }$ n'est pas rationnel (irrationalité de $\pi$, admise).

Ce que l'exercice installe. Quand les racines caractéristiques sont de module $1$, la suite ne converge pas et ne tend pas vers l'infini : elle tourne, et c'est l'argument des racines qui décide de sa périodicité. On retrouve le phénomène rencontré au TD 4 pour la somme $\cos (ax)+\cos (bx)$, périodique si et seulement si $\frac{a}{b}$ est rationnel. Et l'on comprend ce qui manquait au schéma d'Euler de l'exercice précédent : le schéma de Verlet, qu'utilisent les simulations de dynamique moléculaire, discrétise $x^{\prime \prime }=-{\omega }^{2}x$ par $x_{k+1}=(2-{\omega }^2{h}^2)x_k-x_{k-1}$ ; lorsque $\omega h<2$, on peut écrire $2-{\omega }^2{h}^2=2\cos \theta$ avec $\theta \in \left]0,\pi \right[$, et la question b) montre que toutes ses solutions restent bornées — les racines sont sur le cercle unité, l'énergie calculée ne dérive pas.