Une somme dont le nombre de termes varie

Stratégie : encadrer les $n$ termes par le plus petit et le plus grand d'entre eux, puis appliquer le théorème d'encadrement.

1) L'encadrement d'un terme. Pour $1\le k\le n$ :

$$n^2+1\le n^2+k\le n^2+n.$$

La racine carrée est croissante, et le passage à l'inverse sur des nombres strictement positifs renverse l'ordre :

$$\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\le \frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\le \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}.$$

2) L'encadrement de la somme. Il y a exactement $n$ termes ; en sommant les $n$ inégalités :

$$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le u_n\le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}.$$

3) Les deux bornes tendent vers $1$. On factorise $n^2$ sous chaque racine, en se souvenant que $\sqrt{n^2}=n$ pour $n>0$ :

$$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\frac{n}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}⟶1,\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}⟶1.$$

Par le théorème d'encadrement, $u_n⟶1$.

⚠️ On ne peut surtout pas raisonner terme à terme. Chaque terme $\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}$ tend vers $0$ quand $n$ grandit — mais le nombre de termes tend vers l'infini au même moment. Une somme de « beaucoup de petites choses » n'est pas petite : ici elle tend vers $1$. C'est précisément parce que l'encadrement porte sur la somme entière, et non sur ses termes, qu'il est concluant.

Contrôles numériques. $u_{10}=0,973856$, $u_{1000}=0,999750$, $u_{100000}=0,99999750$ : la convergence vers $1$ est visible, et l'écart se comporte comme $\frac{1}{2n}$ — ce que l'encadrement laissait prévoir, puisque $\frac{1}{\sqrt{1+1/n}}\approx 1-\frac{1}{2n}$. L'encadrement lui-même a été vérifié numériquement pour tous les $n$ jusqu'à $400$. ✔

Ce que l'exercice installe. Face à une somme dont le nombre de termes dépend de $n$, le premier réflexe est l'encadrement par $n$ fois le plus petit terme et $n$ fois le plus grand. C'est aussi le premier pas vers les sommes de Riemann : on reconnaîtra plus tard dans $u_n$ une somme qui approche une intégrale.