Une suite qui diverge comme $\sqrt{2n}$

La stratégie. Trois étages, ceux que le programme distingue. Qualitatif : la suite tend vers l'infini, par la limite monotone et l'absence de point fixe. Quantitatif grossier : un encadrement, en élevant la récurrence au carré. Quantitatif fin : la vitesse exacte de divergence, par le lemme de l'escalier.

a) Divergence. Montrons par récurrence que $u_n$ est défini et que $u_n\ge 1$. C'est vrai pour $n=0$. Si $u_n\ge 1$, alors $u_n\ne 0$, $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}$ est défini, et $u_{n+1}\ge u_n\ge 1$. Ensuite, $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{u_n}>0$ : la suite est strictement croissante.

Supposons qu'elle converge vers un réel $L$. Par passage à la limite dans $u_n\ge 1$, $L\ge 1>0$. La fonction $g:x\mapsto x+\frac{1}{x}$ est continue en $L$, et $u_{n+1}=g(u_n)$ : par le théorème « limite et point fixe », $L=g(L)=L+\frac{1}{L}$, d'où $\frac{1}{L}=0$ — c'est absurde. La suite ne converge donc pas. Or elle est croissante : si elle était majorée, elle convergerait, par le théorème de la limite monotone ; elle n'est donc pas majorée, et le même théorème donne $u_n\to +\infty$.

Le point délicat. Tout tient en un argument de point fixe : une suite croissante qui n'a aucun point fixe où converger ne peut que tendre vers l'infini. Mais cet argument ne dit rien de la vitesse — et c'est la vraie question.

b) L'encadrement. En élevant au carré, $$u_{n+1}^2={\left(u_n+\frac{1}{u_n}\right)}^2=u_n^2+2+\frac{1}{u_n^2}.$$ Comme $u_n\ge 1$, on a $0<\frac{1}{u_n^2}\le 1$, donc pour tout $k$ : $$2\le u_{k+1}^2-u_k^2\le 3.$$ En sommant ces inégalités pour $k$ allant de $0$ à $n-1$, le membre central se télescope en $u_n^2-u_0^2=u_n^2-1$ : $$2n\le u_n^2-1\le 3n,\text{donc}\sqrt{2n+1}\le u_n\le \sqrt{3n+1},$$ par croissance de la racine carrée, $u_n$ étant positif. La suite croît donc comme une racine carrée, mais la constante n'est pas encore connue : quelque part entre $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$.

c) La vitesse exacte. Posons $v_n=u_n^2$. Ses accroissements valent $$v_{n+1}-v_n=2+\frac{1}{u_n^2}⟶2,$$ puisque $u_n\to +\infty$ entraîne $\frac{1}{u_n^2}\to 0$. Le lemme de l'escalier de l'exercice 3 donne $\frac{v_n}{n}\to 2$, c'est-à-dire $$\frac{u_n^2}{n}⟶2.$$ Pour passer à la racine carrée, justifions l'indication : pour $x\ge 0$, en multipliant par la quantité conjuguée, $$\left|\sqrt{x}-\sqrt{2}\right|=\frac{|x-2|}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}\le \frac{|x-2|}{\sqrt{2}},$$ car le dénominateur est au moins $\sqrt{2}$. Avec $x=\frac{u_n^2}{n}$, dont la racine carrée est $\frac{u_n}{\sqrt{n}}$ puisque $u_n$ est positif : $$\left|\frac{u_n}{\sqrt{n}}-\sqrt{2}\right|\le \frac{1}{\sqrt{2}}\left|\frac{u_n^2}{n}-2\right|⟶0.$$ Donc $\frac{u_n}{\sqrt{n}}\to \sqrt{2}$ : la suite diverge exactement comme $\sqrt{2n}$. La minoration $u_n\ge \sqrt{2n+1}$ avait la bonne constante ; la majoration par $\sqrt{3n+1}$ était pessimiste.

Contrôle numérique. $u_{100}\approx 14,284$, entre $\sqrt{201}\approx 14,177$ et $\sqrt{301}\approx 17,349$ ; $\frac{u_{100}}{10}\approx 1,4284$, puis $\frac{u_{10000}}{100}\approx 1,4144$ et $\frac{u_{100000}}{\sqrt{100000}}\approx 1,41424$, à comparer à $\sqrt{2}\approx 1,41421$. L'encadrement du b) a été vérifié jusqu'au rang $100000$.

Ce que l'exercice installe. Le qualitatif puis le quantitatif, enchaînés : $u_n\to +\infty$, puis $\sqrt{2n+1}\le u_n\le \sqrt{3n+1}$, puis $\frac{u_n}{\sqrt{n}}\to \sqrt{2}$. L'idée qui débloque tout est d'élever la récurrence au carré : la suite $(u_n^2)$ avance presque d'un pas constant, et le lemme de l'escalier transforme cette information sur les accroissements en une vitesse de divergence exacte. Le chapitre d'analyse asymptotique dira que $u_n$ est équivalent à $\sqrt{2n}$.