L'erreur d'une approximation affine, et la propagation des incertitudes

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'inégalité des accroissements finis, telle que le programme l'énonce : si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et si $|f^{\prime }|$ est majorée par $K$ sur $I$, alors $|f(y)-f(x)|\le K|y-x|$ pour tous $x,y$ de $I$ ; l'égalité des accroissements finis ; la caractérisation des fonctions monotones par le signe de la dérivée.

La stratégie. L'inégalité des accroissements finis, appliquée à $f$, borne la propagation d'une erreur ; appliquée à $f^{\prime }$, puis combinée à la monotonie, elle borne l'erreur de la tangente, et le signe de $f^{\prime \prime }$ dit de quel côté elle se trouve.

a) Une majoration par l'inégalité. La fonction racine carrée est dérivable sur $[10000,+\infty [$, de dérivée $t\mapsto \frac{1}{2\sqrt{t}}$, décroissante et positive, donc majorée par sa valeur en $10000$ : $$0<\frac{1}{2\sqrt{t}}\le \frac{1}{2\sqrt{10000}}=\frac{1}{200}.$$ L'inégalité des accroissements finis donne $\left|\sqrt{y}-\sqrt{x}\right|\le \frac{1}{200}|y-x|$ pour tous $x,y\ge 10000$. Avec $x=10000$ et $y=10001$, qui diffèrent de $1$ : $\left|\sqrt{10001}-100\right|\le \frac{1}{200}=0,005$.

b) Un encadrement par l'égalité. La racine carrée est continue sur $[10000,10001]$ et dérivable à l'intérieur : l'égalité des accroissements finis fournit $c\in \left]10000,10001\right[$ tel que $$\sqrt{10001}-100=\frac{1}{2\sqrt{c}}(10001-10000)=\frac{1}{2\sqrt{c}}.$$ Comme $10000<c<10001$ et que $t\mapsto \frac{1}{2\sqrt{t}}$ est strictement décroissante, $$\frac{1}{2\sqrt{10001}}<\sqrt{10001}-100<\frac{1}{200}.$$ Le membre de gauche fait encore intervenir l'inconnue, mais le a) la majore : $\sqrt{10001}\le 100,005$, donc $2\sqrt{10001}\le 200,01$ et $\frac{1}{2\sqrt{10001}}\ge \frac{1}{200,01}>0,0049997$. Ainsi $$0,0049997<\sqrt{10001}-100<0,005:$$ l'encadrement a une amplitude inférieure à $10^{-6}$, et $\sqrt{10001}\approx 100,00500$ à $10^{-5}$ près, et même mieux.

Le point délicat. L'égalité donne un point $c$ inconnu ; c'est l'encadrement de $c$, et la monotonie de la dérivée, qui la rendent quantitative.

c) La propagation d'une incertitude. C'est l'inégalité des accroissements finis appliquée aux deux points $a$ et $\tilde{a}$ de l'intervalle : $|f(\tilde{a})-f(a)|\le K|\tilde{a}-a|\le K\delta$. Une borne sur $|f^{\prime }|$ contrôle la sensibilité de $f$ aux erreurs de mesure : si $K\le 1$, comme pour le sinus ou l'arc tangente, l'évaluation n'amplifie jamais l'incertitude ; si $K$ est grand, le calcul l'amplifie — on dit que le problème est mal conditionné.

d) L'erreur de la tangente. La dérivée de l'écart. La fonction $r$ est dérivable, et $r^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-f^{\prime }(a)$. Or $f^{\prime }$ est dérivable sur $I$, de dérivée $f^{\prime \prime }$ majorée en valeur absolue par $M$ : l'inégalité des accroissements finis, appliquée à $f^{\prime }$ entre $a$ et $x$, donne $$|r^{\prime }(x)|=|f^{\prime }(x)-f^{\prime }(a)|\le M|x-a|.$$ Pour $x\ge a$. Posons $\phi (x)=\frac{M}{2}(x-a{)}^2-r(x)$ et $\psi (x)=\frac{M}{2}(x-a{)}^2+r(x)$ sur $I\cap [a,+\infty [$. Elles sont dérivables, avec $${\phi }^{\prime }(x)=M(x-a)-r^{\prime }(x)\ge M(x-a)-M(x-a)=0,$$ et de même ${\psi }^{\prime }(x)=M(x-a)+r^{\prime }(x)\ge 0$, puisque $-M(x-a)\le r^{\prime }(x)\le M(x-a)$ pour $x\ge a$. Les deux fonctions sont croissantes sur l'intervalle $I\cap [a,+\infty [$ et nulles en $a$, car $r(a)=0$ : elles sont positives. D'où $$-\frac{M}{2}(x-a{)}^2\le r(x)\le \frac{M}{2}(x-a{)}^2(x\ge a).$$ Pour $x\le a$. Cette fois $|x-a|=a-x$, et ${\phi }^{\prime }(x)=-M(a-x)-r^{\prime }(x)\le -M(a-x)+M(a-x)=0$ ; de même ${\psi }^{\prime }(x)=-M(a-x)+r^{\prime }(x)\le 0$. Les deux fonctions sont décroissantes sur $I\cap \left]-\infty ,a\right]$ et nulles en $a$ : elles sont positives à gauche de $a$. Dans tous les cas, $$|r(x)|\le \frac{M}{2}(x-a{)}^2(x\in I).$$ Le signe. Si $f^{\prime \prime }\ge 0$ sur $I$, $f^{\prime }$ est croissante : $r^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-f^{\prime }(a)$ est positif pour $x\ge a$ et négatif pour $x\le a$. Donc $r$ est décroissante sur $I\cap \left]-\infty ,a\right]$ et croissante sur $I\cap [a,+\infty [$, avec $r(a)=0$ : son minimum est $0$, et $r\ge 0$ : la courbe est au-dessus de sa tangente. Si $f^{\prime \prime }\le 0$, le même raisonnement appliqué à $-f$ donne $r\le 0$ : la courbe est au-dessous de sa tangente.

Le point délicat. On n'a pas de formule pour l'erreur, seulement une borne sur sa dérivée ; c'est la comparaison de dérivées, puis la monotonie, qui transforme cette borne en une borne sur l'erreur elle-même. Le facteur $\frac{1}{2}$ vient de ce que $\frac{M}{2}(x-a{)}^2$ a pour dérivée $M(x-a)$.

e) La racine carrée, revue. Sur $I=[10000,10001]$, $f(x)=\sqrt{x}$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$, avec $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}$ et $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{4}{x}^{-3/2}$. La fonction $|f^{\prime \prime }|$ est décroissante, donc majorée par sa valeur en $10000$ : $M=\frac{1}{4}\cdot 10000^{-3/2}=\frac{1}{4}\cdot 10^{-6}$. La tangente en $a=10000$ vaut, en $x=10001$, $100+\frac{1}{200}=100,005$. Comme $f^{\prime \prime }<0$, la courbe est sous sa tangente, et $$100,005-\frac{M}{2}\cdot 1^2\le \sqrt{10001}\le 100,005,\frac{M}{2}=1,25\cdot 10^{-7}.$$ L'encadrement a une amplitude de $1,25\cdot 10^{-7}$, deux fois plus fine que celle du b), environ $2,5\cdot 10^{-7}$ ; et il dit de quel côté est l'erreur. Contrôle numérique : $100,005-\sqrt{10001}\approx 1,24994\cdot 10^{-7}$ — la borne est presque atteinte, parce que $f^{\prime \prime }$ varie très peu sur l'intervalle.

f) La pesanteur en altitude. Posons $u(z)={\left(1+\frac{z}{R}\right)}^{-2}$ pour $z\ge 0$, de sorte que $\frac{g(z)}{g_0}=u(z)$. C'est une fonction de classe ${\mathcal{C}}^2$, avec $$u^{\prime }(z)=-\frac{2}{R}{\left(1+\frac{z}{R}\right)}^{-3},u^{\prime \prime }(z)=\frac{6}{R^2}{\left(1+\frac{z}{R}\right)}^{-4}.$$ En $0$ : $u(0)=1$ et $u^{\prime }(0)=-\frac{2}{R}$, donc la tangente en $0$ est $z\mapsto 1-\frac{2z}{R}$ — c'est l'approximation de la physique. Pour $z\ge 0$, $1+\frac{z}{R}\ge 1$, donc $0<u^{\prime \prime }(z)\le \frac{6}{R^2}$. Le d), sur $I=[0,h]$ avec $a=0$ et $M=\frac{6}{R^2}$, donne à la fois le signe ($u^{\prime \prime }\ge 0$, la courbe est au-dessus de sa tangente) et la taille : $$0\le u(z)-\left(1-\frac{2z}{R}\right)\le \frac{3z^2}{R^2}.$$ Pour $h=\frac{R}{16}$ et $z\in [0,h]$, $\frac{3z^2}{R^2}\le \frac{3}{256}\approx 0,0117$. L'approximation $g_0\left(1-\frac{2z}{R}\right)$ sous-estime la pesanteur, d'au plus $1,2\%$ de $g_0$ jusqu'à l'altitude de la station spatiale. Contrôle : en $z=\frac{R}{16}$, l'écart réel vaut ${\left(\frac{16}{17}\right)}^2-\frac{7}{8}=\frac{256}{289}-\frac{7}{8}\approx 0,0108$, sous la borne.

Ce que l'exercice installe. Deux usages quantitatifs des accroissements finis. Le premier, $|f(\tilde{a})-f(a)|\le K\delta$, est la propagation des incertitudes que les travaux pratiques de physique emploient à chaque mesure. Le second est l'inégalité $|f(x)-f(a)-f^{\prime }(a)(x-a)|\le \frac{M}{2}(x-a{)}^2$, où le signe de $f^{\prime \prime }$ donne le côté : c'est l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre un, faite à la main, que le chapitre d'intégration généralisera. Elle transforme les approximations affines de la physique — pesanteur en altitude, petits angles, $(1+x{)}^{\alpha }\approx 1+\alpha x$ — en énoncés contrôlés, avec leur erreur.