La bijection tangente et sa réciproque

Stratégie : le théorème de la bijection donne l'existence et la continuité de la réciproque ; la formule de dérivation de la réciproque donne sa pente. Le tout sans jamais disposer d'une expression de $\mathrm{Arctan}$.

Notons $I=\left]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right[$.

1) La bijectivité. Sur $I$, la fonction tangente est dérivable, de dérivée

$${\tan }^{\prime }(x)=1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}\ge 1>0.$$

Elle est donc strictement croissante sur $I$, et en particulier continue. Ses limites aux bornes valent $-\infty$ en $-\frac{\pi }{2}$ à droite, et $+\infty$ en $\frac{\pi }{2}$ à gauche. Le corollaire sur l'image d'un intervalle donne alors $\tan (I)=\mathbb{R}$, et le théorème de la bijection conclut : la tangente réalise une bijection de $I$ sur $\mathbb{R}$, dont la réciproque

$$\mathrm{Arctan}:\mathbb{R}⟶I$$

est continue et strictement croissante, de même sens de variation que la tangente.

2) La dérivabilité de la réciproque. Soit $y\in \mathbb{R}$, et posons $a=\mathrm{Arctan}y$, de sorte que $y=\tan a$ avec $a\in I$. Le théorème sur la dérivée d'une réciproque demande trois choses, que l'on vérifie une à une : la tangente est dérivable en $a$, sa dérivée en $a$ est non nulle — elle vaut au moins $1$ —, et la réciproque est continue, ce que le point 1 vient d'établir. Donc $\mathrm{Arctan}$ est dérivable en $y$, avec

$${\mathrm{Arctan}}^{\prime }(y)=\frac{1}{{\tan }^{\prime }(a)}.$$

3) Le calcul, et le tour de main. Il reste à exprimer ${\tan }^{\prime }(a)$ en fonction de $y$, et non de $a$ — car $a$, lui, n'a pas d'expression. C'est ici qu'il faut choisir la bonne écriture de la dérivée :

$${\tan }^{\prime }(a)=1+{\tan }^{2}a=1+y^2.$$

D'où, pour tout réel $y$,

$$\boxed{{\mathrm{Arctan}}^{\prime }(y)=\frac{1}{1+y^2}.}$$

⚠️ Le point délicat est le choix entre les deux écritures de ${\tan }^{\prime }$. Avec ${\tan }^{\prime }(a)=\frac{1}{{\cos }^{2}a}$, on obtiendrait ${\mathrm{Arctan}}^{\prime }(y)={\cos }^2\left(\mathrm{Arctan}y\right)$ : c'est vrai, mais inutilisable, puisque la variable $y$ n'y apparaît que sous un $\mathrm{Arctan}$ qu'on ne sait pas calculer. L'écriture $1+{\tan }^2$ est celle qui s'exprime directement en $y$. Retenir la règle : quand on dérive une réciproque, on écrit $f^{\prime }$ sous la forme qui se relit en $f$.

⚠️ L'hypothèse $f^{\prime }(a)\ne 0$ n'est pas décorative. Si la dérivée s'annulait en $a$, la réciproque aurait en $f(a)$ une tangente verticale et ne serait pas dérivable. C'est exactement ce qui arrive à $y\mapsto y^{1/3}$ en $0$, réciproque de $x\mapsto x^3$ dont la dérivée s'annule en $0$. Ici ${\tan }^{\prime }\ge 1$ partout : le problème ne se pose jamais.

Le fait géométrique. Les graphes de la tangente et de l'arc tangente sont symétriques l'un de l'autre par rapport à la première bissectrice. Une tangente de pente $p$ au premier graphe se réfléchit donc en une tangente de pente $\frac{1}{p}$ au second : c'est toute la formule, lue sur un dessin. Ainsi, au point d'abscisse $\frac{\pi }{4}$, la tangente à la courbe de $\tan$ a pour pente $1+1^2=2$ ; au point d'abscisse $1$, la tangente à la courbe de $\mathrm{Arctan}$ a pour pente $\frac{1}{1+1^2}=\frac{1}{2}$. Le produit des deux pentes vaut $1$.

Contrôles numériques.

• $\mathrm{Arctan}(\tan 0,7)=0,7$ et $\tan (\mathrm{Arctan}3)=3$, à la précision machine : les deux applications sont bien réciproques l'une de l'autre. ✔
• Le taux d'accroissement symétrique $\frac{\mathrm{Arctan}(1+h)-\mathrm{Arctan}(1-h)}{2h}$ vaut $0,49999999996$ pour $h=10^{-6}$, à comparer à la valeur annoncée $\frac{1}{1+1^2}=0,5$. ✔
• L'identité $\frac{1}{1+{\tan }^{2}a}={\cos }^{2}a$ a été vérifiée formellement, et l'égalité ${\mathrm{Arctan}}^{\prime }(y)=\frac{1}{1+y^2}$ par dérivation symbolique. ✔

Ce que l'exercice installe. On vient de dériver une fonction dont on ne possède aucune formule : tout est venu de la fonction directe. C'est le procédé qui donne, exactement de la même façon, la dérivée de $\ln$ à partir de celle de $\exp$, celles de $\mathrm{Arcsin}$ et $\mathrm{Arccos}$ à partir du sinus et du cosinus, et celle de $x\mapsto x^{1/n}$ à partir de $x\mapsto x^n$. Le chapitre des fonctions usuelles avait annoncé ces dérivées ; c'est le théorème de la bijection qui vient de les fonder.