La limite de la dérivée : suffisante, pas nécessaire

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le théorème de la limite de la dérivée : si $f$ est continue sur $I$, dérivable sur $I$ privé de $a$, et si $f^{\prime }(x)\to \ell \in \mathbb{R}$ quand $x\to a$, $x\ne a$, alors $f$ est dérivable en $a$, $f^{\prime }(a)=\ell$, et $f^{\prime }$ est continue en $a$. Et les croissances comparées : $u^k{e}^{-u}\to 0$ quand $u\to +\infty$.

a) Un raccord de classe ${\mathcal{C}}^1$. Continuité. Sur $\left]-\infty ,0\right[$, $f$ est nulle ; sur $\left]0,+\infty \right[$, c'est une composée de fonctions continues. En $0$ : à gauche, $f$ vaut $0$ ; à droite, quand $x\to 0^{+}$, $-\frac{1}{x}\to -\infty$, donc par composition $e^{-1/x}\to 0$. Les deux limites latérales valent $f(0)=0$ : $f$ est continue en $0$, donc sur $\mathbb{R}$.

Dérivée hors de $0$. Sur $\left]-\infty ,0\right[$, $f^{\prime }=0$. Sur $\left]0,+\infty \right[$, par dérivation d'une composée, $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2}{e}^{-1/x}$.

Limite de la dérivée. À gauche, $f^{\prime }$ est nulle. À droite, posons $u=\frac{1}{x}$, qui tend vers $+\infty$ quand $x\to 0^{+}$ : $f^{\prime }(x)=u^2{e}^{-u}\to 0$ par croissances comparées. Donc $f^{\prime }(x)\to 0$ quand $x\to 0$, $x\ne 0$.

Conclusion. $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, dérivable sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$, et $f^{\prime }$ a la limite finie $0$ en $0$ : par le théorème, $f$ est dérivable en $0$, $f^{\prime }(0)=0$, et $f^{\prime }$ est continue en $0$. Comme $f^{\prime }$ est continue ailleurs, $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$.

Le point délicat. L'hypothèse de continuité en $0$ n'est pas décorative : la fonction égale à $0$ sur $\left]-\infty ,0\right]$ et à $1$ sur $\left]0,+\infty \right[$ a une dérivée nulle de part et d'autre de $0$, donc de limite $0$, et elle n'est même pas continue en $0$.

b) Dérivable, mais pas de classe ${\mathcal{C}}^1$. Dérivabilité en $0$. On revient à la définition : pour $x\ne 0$, le taux d'accroissement vaut $$\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=x\sin \frac{1}{x},$$ produit de la fonction bornée $x\mapsto \sin \frac{1}{x}$ par une fonction de limite nulle : il tend vers $0$. $g$ est dérivable en $0$, et $g^{\prime }(0)=0$. Ailleurs, $g$ est dérivable comme produit et composée de fonctions dérivables, et $$g^{\prime }(x)=2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}(x\ne 0).$$ Absence de limite de $g^{\prime }$ en $0$. Le premier terme tend vers $0$, pour la même raison que le taux. Si $g^{\prime }$ avait une limite $L$ en $0$, alors $\cos \frac{1}{x}=2x\sin \frac{1}{x}-g^{\prime }(x)$ tendrait vers $-L$. Or $\cos \frac{1}{x}$ n'a pas de limite en $0$ : les suites $x_n=\frac{1}{2n\pi }$ et $y_n=\frac{1}{(2n+1)\pi }$ tendent vers $0$, avec $\cos \frac{1}{x_n}=1$ et $\cos \frac{1}{y_n}=-1$ ; si $\cos \frac{1}{x}$ avait une limite en $0$, l'image de chacune de ces suites tendrait vers elle, et elle vaudrait à la fois $1$ et $-1$. $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, mais $g^{\prime }$ n'a pas de limite en $0$ : $g$ n'est pas de classe ${\mathcal{C}}^1$.

Le point délicat. Pour dériver $g$ en $0$, il ne faut surtout pas passer par la formule de $g^{\prime }(x)$ pour $x\ne 0$ : elle ne dit rien en $0$. Seul le taux d'accroissement décide de la dérivabilité en un point de raccord.

c) Ce que disent les deux exemples. Le théorème de la limite de la dérivée donne une condition suffisante de dérivabilité en un point, l'outil efficace des raccords. Mais la condition n'est pas nécessaire : $g$ est dérivable en $0$ sans que $g^{\prime }$ y ait de limite. Et dérivable n'entraîne pas de classe ${\mathcal{C}}^1$ : la dérivée de $g$ existe partout, mais elle oscille indéfiniment près de $0$ — conformément au théorème de Darboux de l'exercice 4, elle oscille, elle ne saute pas.

Ce que l'exercice installe. La méthode de raccordement en quatre temps — continuité au point, dérivée de part et d'autre, limite de la dérivée, conclusion par le théorème — et sa limite exacte : quand la dérivée n'a pas de limite, on revient au taux d'accroissement. La fonction du a), très régulière et pourtant nulle sur toute une demi-droite, est la brique des fonctions « plateau » ; celle du b) est le contre-exemple de référence de l'année. En sciences industrielles, raccorder deux lois de mouvement de façon ${\mathcal{C}}^1$ — une phase d'accélération et une phase à vitesse constante — c'est exactement vérifier la continuité de la position et de la vitesse au point de raccord.