Le principe de Fermat et la loi de Snell-Descartes

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PTSI), chapitre 6 — Limites, continuité, dérivabilité · B. Continuité et grands théorèmes

Énoncé

Deux milieux transparents sont séparés par l'axe $(O x)$ d'un repère orthonormé ; la lumière s'y propage à la vitesse $v_{1}$ dans le demi-plan $y > 0$ et à la vitesse $v_{2}$ dans le demi-plan $y < 0$ . Elle va du point $A = (0, a)$ au point $B = (d, - b)$ , où $a, b, d > 0$ , en passant par un point $M = (x, 0)$ de l'interface et en ligne droite dans chaque milieu. Le principe de Fermat affirme que le trajet effectivement suivi est celui dont la durée $t (x)$ est minimale.

a) Exprimer $t (x)$ pour $x \in R$ . Montrer que $t (x) > t (0)$ pour $x < 0$ et $t (x) > t (d)$ pour $x > d$ . En déduire que $t$ admet un minimum sur $R$ , atteint en un point de $[0, d]$ .

b) Montrer que $t$ est dérivable sur $R$ , et que $t^{'}$ s'annule en tout point où $t$ atteint son minimum.

c) Montrer que $t^{'}$ est strictement croissante sur $R$ . En déduire que le minimum est atteint en un unique point $x^{*}$ , et que $t$ est strictement décroissante sur $] - \infty, x^{*}]$ et strictement croissante sur $[x^{*}, + \infty [$ .

d) On note $i_{1}$ et $i_{2}$ les angles que font les segments $[A M]$ et $[M B]$ avec la normale à l'interface. Montrer que la condition $t^{'} (x^{*}) = 0$ s'écrit $\frac{sin i _{1}}{v _{1}} = \frac{sin i _{2}}{v _{2}}$ . Avec les indices de réfraction $n_{1} = \frac{c}{v _{1}}$ et $n_{2} = \frac{c}{v _{2}}$ , où $c$ est la vitesse de la lumière dans le vide, c'est la loi de Snell-Descartes : $n_{1} sin i_{1} = n_{2} sin i_{2}$ .

Corrigé

La stratégie. Trois temps, qui ne se confondent pas : l'existence d'un minimum, par le théorème des bornes atteintes — qui exige un segment, alors qu'ici $x$ parcourt $R$ ; une condition nécessaire, par l'annulation de la dérivée en un point intérieur ; l'unicité, par la stricte monotonie de $t^{'}$ .

a) Existence du minimum. Le trajet se compose des segments $[A M]$ et $[M B]$ , de longueurs $x^{2} + a^{2}$ et $(d - x)^{2} + b^{2}$ , parcourus aux vitesses $v_{1}$ et $v_{2}$ . Donc $t (x) = \frac{x ^{2} + a ^{2}}{v _{1}} + \frac{( d - x ) ^{2} + b ^{2}}{v _{2}} .$ Pour $x < 0$ : $x^{2} > 0$ et $(d - x)^{2} > d^{2}$ , puisque $d - x > d > 0$ ; la racine carrée étant strictement croissante, les deux termes de $t (x)$ dépassent ceux de $t (0)$ , et $t (x) > t (0)$ . Pour $x > d$ : $x^{2} > d^{2}$ et $(d - x)^{2} > 0$ , d'où de même $t (x) > t (d)$ . Sortir de $[0, d]$ allonge les deux segments à la fois.

La fonction $t$ est continue sur le segment $[0, d]$ : par le théorème des bornes atteintes, elle y atteint son minimum en un point $x_{m}$ . Pour $x < 0$ , $t (x) > t (0) \geq t (x_{m})$ ; pour $x > d$ , $t (x) > t (d) \geq t (x_{m})$ . $t (x_{m})$ est le minimum de $t$ sur $R$ , atteint seulement en des points de $[0, d]$ .

Le point délicat. Une fonction continue sur $R$ n'a aucune raison d'y atteindre un minimum. La comparaison avec $t (0)$ et $t (d)$ ramène le problème sur un segment : c'est le geste standard de l'optimisation sur un domaine non borné.

b) La condition nécessaire. Les quantités $x^{2} + a^{2}$ et $(d - x)^{2} + b^{2}$ sont strictement positives, car $a, b > 0$ , et la racine carrée est dérivable sur $] 0, + \infty [$ : $t$ est dérivable sur $R$ , et $t^{'} (x) = \frac{x}{v _{1} x ^{2} + a ^{2}} - \frac{d - x}{v _{2} ( d - x ) ^{2} + b ^{2}} .$ En un point $x_{m}$ où $t$ atteint son minimum, $t$ a un minimum local, et $x_{m}$ est intérieur à $R$ , intervalle ouvert : la condition nécessaire d'extremum local donne $t^{'} (x_{m}) = 0$ .

c) L'unicité. La fonction $φ : u \mapsto \frac{u}{u ^{2} + a ^{2}}$ a pour dérivée $φ^{'} (u) = \frac{u ^{2} + a ^{2} - \frac{u ^{2}}{u ^{2} + a ^{2}}}{u ^{2} + a ^{2}} = \frac{a ^{2}}{( u ^{2} + a ^{2} ) ^{3/2}} > 0 :$ elle est strictement croissante sur $R$ . De même, $ψ : u \mapsto \frac{u}{u ^{2} + b ^{2}}$ est strictement croissante, donc $x \mapsto ψ (d - x)$ est strictement décroissante. Ainsi $t^{'} (x) = \frac{1}{v _{1}} φ (x) - \frac{1}{v _{2}} ψ (d - x)$ est strictement croissante sur $R$ , comme somme de deux fonctions strictement croissantes.

Une fonction strictement croissante s'annule au plus une fois ; or, d'après b), $t^{'}$ s'annule en tout point de minimum de $t$ , et il en existe au moins un d'après a). Le minimum est donc atteint en un unique point $x^{*}$ , où $t^{'} (x^{*}) = 0$ . Par stricte croissance, $t^{'} < 0$ sur $] - \infty, x^{*} [$ et $t^{'} > 0$ sur $] x^{*}, + \infty [$ : par la caractérisation des fonctions strictement monotones, $t$ est strictement décroissante sur $] - \infty, x^{*}]$ et strictement croissante sur $[x^{*}, + \infty [$ . Et comme $t^{'} (0) = - \frac{d}{v _{2} d ^{2} + b ^{2}} < 0 < \frac{d}{v _{1} d ^{2} + a ^{2}} = t^{'} (d)$ , le point $x^{*}$ est strictement entre $0$ et $d$ .

Le point délicat. L'annulation de la dérivée est nécessaire, pas suffisante : c'est la stricte croissance de $t^{'}$ qui garantit que le point critique est unique, et que c'est le minimum.

d) La loi de la réfraction. Notons $O$ l'origine. La normale à l'interface en $M$ est parallèle à la droite $(O A)$ ; dans le triangle $A O M$ , rectangle en $O$ , l'angle en $A$ est donc égal à $i_{1}$ , et son sinus est le côté opposé sur l'hypoténuse. Ainsi, pour $x \in [0, d]$ , $sin i_{1} = \frac{x}{x ^{2} + a ^{2}}, et de m e ˆ me sin i_{2} = \frac{d - x}{( d - x ) ^{2} + b ^{2}} .$ La condition $t^{'} (x^{*}) = 0$ s'écrit donc exactement $\frac{s i n i _{1}}{v _{1}} = \frac{s i n i _{2}}{v _{2}}$ , et en multipliant par $c$ : $n_{1} sin i_{1} = n_{2} sin i_{2} .$ La loi de Snell-Descartes est la condition d'annulation de la dérivée de la durée du trajet.

Contrôle numérique. Avec $a = 1$ , $b = 2$ , $d = 3$ , $v_{1} = 1$ et $v_{2} = 0, 75$ (unités arbitraires), on trouve $t^{'} (0) \approx - 1, 11$ et $t^{'} (3) \approx 0, 95$ , un minimum en $x^{*} \approx 1, 4374$ , où $\frac{s i n i _{1}}{v _{1}} = \frac{s i n i _{2}}{v _{2}} \approx 0, 8209$ ; les angles valent $i_{1} \approx 55, 2°$ et $i_{2} \approx 38, 0°$ : le rayon se rapproche de la normale en entrant dans le milieu où la lumière est plus lente.

Ce que l'exercice installe. La méthode complète d'optimisation d'une fonction d'une variable : se ramener à un segment pour l'existence, écrire la condition nécessaire en un point intérieur, conclure à l'unicité par une monotonie. Elle démontre, à partir d'un principe de minimum, la loi de la réfraction que le premier chapitre d'optique géométrique de PTSI énonce. Le même schéma servira en sciences industrielles pour tout dimensionnement « au meilleur » d'une pièce ou d'un mécanisme, dès que la grandeur à optimiser dépend d'un seul paramètre.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.