mathématiques (PTSI) · Chapitre 6 · Exercice de TD

Le principe de Fermat et la loi de Snell-Descartes

Limites, continuité, dérivabilité · B. Continuité et grands théorèmes · niveau 2

Énoncé

Deux milieux transparents sont séparés par l'axe $(O x)$ d'un repère orthonormé ; la lumière s'y propage à la vitesse $v_{1}$ dans le demi-plan $y > 0$ et à la vitesse $v_{2}$ dans le demi-plan $y < 0$ . Elle va du point $A = (0, a)$ au point $B = (d, - b)$ , où $a, b, d > 0$ , en passant par un point $M = (x, 0)$ de l'interface et en ligne droite dans chaque milieu. Le principe de Fermat affirme que le trajet effectivement suivi est celui dont la durée $t (x)$ est minimale.

a) Exprimer $t (x)$ pour $x \in R$ . Montrer que $t (x) > t (0)$ pour $x < 0$ et $t (x) > t (d)$ pour $x > d$ . En déduire que $t$ admet un minimum sur $R$ , atteint en un point de $[0, d]$ .

b) Montrer que $t$ est dérivable sur $R$ , et que $t^{'}$ s'annule en tout point où $t$ atteint son minimum.

c) Montrer que $t^{'}$ est strictement croissante sur $R$ . En déduire que le minimum est atteint en un unique point $x^{*}$ , et que $t$ est strictement décroissante sur $] - \infty, x^{*}]$ et strictement croissante sur $[x^{*}, + \infty [$ .

d) On note $i_{1}$ et $i_{2}$ les angles que font les segments $[A M]$ et $[M B]$ avec la normale à l'interface. Montrer que la condition $t^{'} (x^{*}) = 0$ s'écrit $\frac{sin i _{1}}{v _{1}} = \frac{sin i _{2}}{v _{2}}$ . Avec les indices de réfraction $n_{1} = \frac{c}{v _{1}}$ et $n_{2} = \frac{c}{v _{2}}$ , où $c$ est la vitesse de la lumière dans le vide, c'est la loi de Snell-Descartes : $n_{1} sin i_{1} = n_{2} sin i_{2}$ .

Corrigé de la question 1

La stratégie. Trois temps, qui ne se confondent pas : l'existence d'un minimum, par le théorème des bornes atteintes — qui exige un segment, alors qu'ici $x$ parcourt $R$ ; une condition nécessaire, par l'annulation de la dérivée en un point intérieur ; l'unicité, par la stricte monotonie de $t^{'}$ .

a) Existence du minimum. Le trajet se compose des segments $[A M]$ et $[M B]$ , de longueurs $x^{2} + a^{2}$ et $(d - x)^{2} + b^{2}$ , parcourus aux vitesses $v_{1}$ et $v_{2}$ . Donc $t (x) = \frac{x ^{2} + a ^{2}}{v _{1}} + \frac{( d - x ) ^{2} + b ^{2}}{v _{2}} .$ Pour $x < 0$ : $x^{2} > 0$ et $(d - x)^{2} > d^{2}$ , puisque $d - x > d > 0$ ; la racine carrée étant strictement croissante, les deux termes de $t (x)$ dépassent ceux de $t (0)$ , et $t (x) > t (0)$ . Pour $x > d$ : $x^{2} > d^{2}$ et $(d - x)^{2} > 0$ , d'où de même $t (x) > t (d)$ . Sortir de $[0, d]$ allonge les deux segments à la fois.

La fonction $t$ est continue sur le segment $[0, d]$ : par le théorème des bornes atteintes, elle y atteint son minimum en un point $x_{m}$ . Pour $x < 0$ , $t (x) > t (0) \geq t (x_{m})$ ; pour $x > d$ , $t (x) > t (d) \geq t (x_{m})$ . $t (x_{m})$ est le minimum de $t$ sur $R$ , atteint seulement en des points de $[0, d]$ .

Le point délicat. Une fonction continue sur $R$ n'a aucune raison d'y atteindre un minimum. La comparaison avec $t (0)$ et $t (d)$ ramène le problème sur un segment : c'est le geste standard de l'optimisation sur un domaine non borné.

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Montrer que $t$ est dérivable sur $R$ , et que $t^{'}$ s'annule en tout point où $t$ atteint son minimum.

Élève

Pour le b), le a) place le minimum dans $[0, d]$ . Mais s'il est atteint en $0$ ou en $d$ , aux bords du segment, la condition $t^{'} = 0$ ne s'applique pas, si ?

La condition nécessaire demande un point intérieur à l'intervalle sur lequel on a un extremum. De quel intervalle s'agit-il ici : le segment $[0, d]$ où l'on a cherché le minimum, ou l'ensemble où $t$ est minimale d'après le a) ?

Élève

Le a) donne un minimum de $t$ sur tout $R$ , pas seulement sur $[0, d]$ . Et $R$ est un intervalle ouvert, donc même $0$ ou $d$ y seraient intérieurs.

Exactement. Reste la dérivabilité : pourquoi les deux racines carrées qui composent $t$ sont-elles dérivables en tout réel $x$ , et quelle hypothèse de l'énoncé l'assure ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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