Le théorème de Darboux : une dérivée ne saute jamais

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PTSI), chapitre 6 — Limites, continuité, dérivabilité · D. Rolle, accroissements finis

Énoncé

Soient $I$ un intervalle ouvert de $R$ et $f : I \to R$ une fonction dérivable sur $I$ . On ne suppose pas $f^{'}$ continue.

a) Soient $a < b$ deux points de $I$ et $y$ un réel tel que $f^{'} (a) < y < f^{'} (b)$ . On pose $g (x) = f (x) - y x$ pour $x \in [a, b]$ . Montrer que $g$ atteint son minimum sur $[a, b]$ en un point $c$ ; montrer, en revenant au taux d'accroissement de $g$ en $a$ puis en $b$ , que $c \neq = a$ et $c \neq = b$ ; en déduire que $f^{'} (c) = y$ . Traiter aussi le cas $f^{'} (a) > y > f^{'} (b)$ .

b) En déduire que $f^{'} (I)$ est un intervalle (théorème de Darboux). La fonction qui vaut $- 1$ sur $] - \infty, 0 [$ , $0$ en $0$ et $1$ sur $] 0, + \infty [$ est-elle la dérivée d'une fonction dérivable sur $R$ ?

c) Montrer que si $f^{'}$ ne s'annule en aucun point de $I$ , alors $f$ est strictement monotone sur $I$ . Interpréter pour un mobile dont la vitesse ne s'annule jamais.

d) On suppose de plus $f^{'}$ monotone sur $I$ . À l'aide de l'exercice 1, montrer que $f^{'}$ est continue sur $I$ .

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le théorème des bornes atteintes : une fonction continue sur un segment y atteint son minimum et son maximum ; la condition nécessaire d'extremum local : si une fonction dérivable sur un intervalle atteint un extremum local en un point intérieur, sa dérivée s'y annule ; la conservation du signe d'une limite ; la caractérisation des fonctions strictement monotones par le signe de la dérivée.

La stratégie. Transformer « $f^{'}$ prend la valeur $y$ » en « une dérivée s'annule » : c'est le rôle de $g (x) = f (x) - y x$ , dont la dérivée est $f^{'} - y$ . Puis trouver un point où $g^{'}$ s'annule, sans passer par la continuité de $g^{'}$ : un minimum de $g$ atteint en un point intérieur fait l'affaire. Tout le travail consiste à écarter les deux extrémités.

a) La fonction auxiliaire. La fonction $g$ est dérivable sur $[a, b]$ , donc continue, et $g^{'} (x) = f^{'} (x) - y, en particulier g^{'} (a) = f^{'} (a) - y < 0 et g^{'} (b) = f^{'} (b) - y > 0.$ Chercher $c$ tel que $f^{'} (c) = y$ revient à chercher un zéro de $g^{'}$ .

Le minimum existe. $g$ est continue sur le segment $[a, b]$ : par le théorème des bornes atteintes, elle y atteint son minimum en un point $c \in [a, b]$ .

Le minimum n'est pas en $a$ . Le taux d'accroissement $\frac{g ( x ) - g ( a )}{x - a}$ tend vers $g^{'} (a) < 0$ quand $x$ tend vers $a$ . Par conservation du signe, il existe $η > 0$ tel que ce taux soit strictement négatif pour tout $x \in] a, b]$ vérifiant $x - a \leq η$ ; prenons un tel $x$ , par exemple le plus petit des deux réels $a + η$ et $b$ . Comme $x - a > 0$ , $g (x) - g (a) < 0, c’est- a ˋ -dire g (x) < g (a) .$ La valeur $g (a)$ n'est donc pas la plus petite valeur de $g$ sur $[a, b]$ : $c \neq = a$ .

Le minimum n'est pas en $b$ . Symétriquement, $\frac{g ( x ) - g ( b )}{x - b} \to g^{'} (b) > 0$ : pour $x < b$ assez proche de $b$ , avec $x \geq a$ , ce taux est strictement positif ; comme $x - b < 0$ , cela donne $g (x) - g (b) < 0$ , soit $g (x) < g (b)$ . Donc $c \neq = b$ .

Conclusion. Le point $c$ appartient à l'intervalle ouvert $] a, b [$ : c'est un point intérieur où $g$ , dérivable, atteint un minimum — en particulier un minimum local. La condition nécessaire d'extremum local donne $g^{'} (c) = 0$ , c'est-à-dire $f^{'} (c) = y .$ Le cas $f^{'} (a) > y > f^{'} (b)$ . La fonction $- f$ est dérivable, et $(- f)^{'} (a) < - y < (- f)^{'} (b)$ : ce qui précède fournit $c \in] a, b [$ tel que $- f^{'} (c) = - y$ , soit $f^{'} (c) = y$ .

Le point délicat. On n'utilise jamais la continuité de $f^{'}$ — on ne l'a pas. Ce qui la remplace, c'est la seule valeur de $g^{'}$ en $a$ et en $b$ : elle suffit à dire que $g$ descend juste après $a$ et remonte juste avant $b$ . La conservation du signe s'applique au taux d'accroissement de $g$ , pas à la dérivée. Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à $f^{'}$ serait une faute : il exige une continuité dont on ne dispose pas.

b) Le théorème de Darboux. Soient $y_{1} < y_{2}$ deux éléments de $f^{'} (I)$ , $y_{1} = f^{'} (a_{1})$ et $y_{2} = f^{'} (a_{2})$ , et $y$ strictement compris entre eux. Les points $a_{1}$ et $a_{2}$ sont distincts, puisque $f^{'} (a_{1}) \neq = f^{'} (a_{2})$ . Si $a_{1} < a_{2}$ , on applique le a) avec $a = a_{1}$ , $b = a_{2}$ , dans le cas $f^{'} (a) < y < f^{'} (b)$ ; si $a_{2} < a_{1}$ , avec $a = a_{2}$ , $b = a_{1}$ , dans le cas $f^{'} (a) > y > f^{'} (b)$ . Dans les deux cas, $y = f^{'} (c)$ pour un $c \in I$ : $y \in f^{'} (I)$ . Par la caractérisation des intervalles, $f^{'} (I)$ est un intervalle : une dérivée vérifie la propriété des valeurs intermédiaires, qu'elle soit continue ou non.

La fonction signe n'est pas une dérivée. Son image est ${- 1, 0, 1}$ , qui n'est pas un intervalle : elle contient $0$ et $1$ mais pas $\frac{1}{2}$ . Par le théorème de Darboux, elle n'est la dérivée d'aucune fonction dérivable sur $R$ . Plus généralement, une fonction qui fait un saut n'est jamais une dérivée.

Un contrôle sur une dérivée vraiment discontinue. La fonction $h (x) = x^{2} sin \frac{1}{x}$ prolongée par $h (0) = 0$ , qu'on étudiera à l'exercice 7, est dérivable sur $R$ , avec $h^{'} (0) = 0$ et $h^{'} (x) = 2 x sin \frac{1}{x} - cos \frac{1}{x}$ pour $x \neq = 0$ , et $h^{'}$ n'a pas de limite en $0$ . Aux points $x_{n} = \frac{1}{2 nπ}$ , $sin \frac{1}{x _{n}} = 0$ et $cos \frac{1}{x _{n}} = 1$ , donc $h^{'} (x_{n}) = - 1$ ; aux points $y_{n} = \frac{1}{( 2 n + 1 ) π}$ , $cos \frac{1}{y _{n}} = - 1$ , donc $h^{'} (y_{n}) = 1$ . Entre deux tels points, aussi près de $0$ qu'on veut, $h^{'}$ prend, par Darboux, toutes les valeurs de $[- 1, 1]$ : elle oscille, elle ne saute pas.

c) Une dérivée qui ne s'annule pas garde un signe. L'intervalle $f^{'} (I)$ ne contient pas $0$ . S'il contenait un réel strictement négatif et un réel strictement positif, il contiendrait $0$ , compris entre eux : c'est impossible. Donc $f^{'} > 0$ sur $I$ , ou $f^{'} < 0$ sur $I$ , et par la caractérisation des fonctions strictement monotones, $f$ est strictement croissante ou strictement décroissante sur $I$ . Un mobile dont la vitesse ne s'annule jamais ne rebrousse jamais chemin — même si cette vitesse varie de façon discontinue.

d) Une dérivée monotone est continue. Supposons $f^{'}$ monotone sur l'intervalle ouvert $I$ ; quitte à remplacer $f$ par $- f$ , on peut la supposer croissante. D'après b), son image $f^{'} (I)$ est un intervalle. Or l'exercice 1 c) affirme qu'une fonction croissante sur un intervalle ouvert, dont l'image est un intervalle, est continue. Donc $f^{'}$ est continue sur $I$ : une fonction dérivable dont la dérivée est monotone est de classe $C^{1}$ .

Ce que l'exercice installe. Une dérivée, même discontinue, ne peut pas sauter : la seule façon pour elle d'être discontinue est d'osciller, comme celle de $x^{2} sin \frac{1}{x}$ . Deux conséquences maniables : une dérivée qui ne s'annule pas a un signe constant, donc la fonction est strictement monotone ; une dérivée monotone est continue. La preuve installe aussi un geste qui reviendra à l'exercice 3 et dans toute optimisation : écarter les extrémités d'un segment pour obtenir un extremum intérieur, où la dérivée s'annule.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.