Périodique et convergente

Stratégie : la caractérisation séquentielle, appliquée à une suite qui part d'un point quelconque et s'en va à l'infini par sauts d'une période.

Notons $T>0$ une période de $f$, et $\ell$ sa limite en $+\infty$.

Soit $x\in \mathbb{R}$, fixé une fois pour toutes. Considérons la suite

$$x_n=x+nT,n\in \mathbb{N}.$$

Elle tend vers $+\infty$ puisque $T>0$. La caractérisation séquentielle de la limite en $+\infty$ donne alors

$$f(x_n)⟶\ell .$$

Or la périodicité, appliquée $n$ fois, donne $f(x+nT)=f(x)$ pour tout $n$ : la suite $(f(x_n))$ est constante, égale à $f(x)$. Une suite constante converge vers cette constante, et par unicité de la limite :

$$f(x)=\ell .$$

Ceci vaut pour tout $x\in \mathbb{R}$ : la fonction $f$ est constante, égale à $\ell$.

⚠️ Le point délicat est l'ordre des quantificateurs. On fixe $x$ d'abord, puis on construit une suite qui dépend de ce $x$. C'est parce que la conclusion $f(x)=\ell$ ne dépend d'aucun choix qu'elle vaut ensuite pour tous les $x$. Une suite fixée à l'avance, comme $(nT)$, ne donnerait le résultat qu'en un seul point.

⚠️ La périodicité s'applique $n$ fois, et c'est une récurrence. De $f(u+T)=f(u)$ pour tout $u$ on tire $f(x+nT)=f(x)$ par récurrence immédiate sur $n$ — le pas de la récurrence utilisant l'hypothèse au point $u=x+nT$.

Contrôle par un exemple, et par un contre-exemple. La fonction $\sin$ est $2\pi$-périodique et non constante : elle n'a donc pas de limite en $+\infty$, ce que l'énoncé prédit. ✔ Et l'on vérifie numériquement que $\sin (t+2\pi n)=\sin t$ pour $t=0,3$ ; $1,7$ ; $-2,2$ et $n$ jusqu'à $30$ : la suite des images est bien constante, donc elle ne peut « choisir » une limite qu'en étant déjà arrivée. ✔

Ce que l'exercice installe. Une fonction périodique ne peut converger en $+\infty$ qu'en étant déjà constante : elle ne peut pas « se calmer », puisqu'elle rejoue indéfiniment le même motif. C'est l'argument qui prouve d'un trait que $\sin$, $\cos$ et la partie fractionnaire n'ont pas de limite à l'infini, et l'on notera qu'il ne demande aucune continuité.