mathématiques (PTSI) · Chapitre 6 · Exercice de TD

Problème : le théorème du point fixe de Banach, et l'équation de Kepler

Limites, continuité, dérivabilité · E. Suites récurrentes et méthodes numériques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $a < b$ deux réels, $f : [a, b] \to [a, b]$ une fonction, et $k \in [0, 1 [$ tels que $\forall (x, y) \in [a, b]^{2}, ∣ f (x) - f (y) ∣ \leq k ∣ x - y ∣.$ On dit que $f$ réduit les distances d'un facteur $k$ .

1) Montrer que $f$ admet un unique point fixe $ℓ \in [a, b]$ (pour l'existence, appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à $x \mapsto f (x) - x$ ).

2) Soient $u_{0} \in [a, b]$ et la suite définie par $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . Montrer que pour tout $n$ : $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq k^{n} ∣ u_{0} - ℓ ∣ \leq k^{n} (b - a)$ .

3) Montrer que pour tout $n \geq 1$ : $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq \frac{k}{1 - k} ∣ u_{n} - u_{n - 1} ∣$ . Pourquoi cette estimation a posteriori fournit-elle un critère d'arrêt calculable ?

4) On suppose $f$ de classe $C^{1}$ sur $[a, b]$ avec $∣ f^{'} ∣ \leq k$ . Montrer que $f$ réduit les distances d'un facteur $k$ . On suppose de plus $u_{n} \neq = ℓ$ pour tout $n$ ; montrer, par l'égalité des accroissements finis, que $\frac{u _{n + 1} - ℓ}{u _{n} - ℓ} \to f^{'} (ℓ)$ . Qu'en conclure sur la vitesse réelle de convergence ?

5) Le cosinus itéré. On prend $f = cos$ sur $[0, 1]$ et $u_{0} = 0$ .

Vérifier les hypothèses avec $k = sin 1$ .
Combien d'itérations la question 2 garantit-elle pour une précision de $1 0^{- 6}$ ?
Justifier que $u_{n} \neq = ℓ$ pour tout $n$ , et estimer le nombre d'itérations par décimale gagnée à l'aide de la question 4.
Comparer, numériquement, avec la méthode de Newton du cours, $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{x _{n} - cos x _{n}}{1 + sin x _{n}}$ , partie de $x_{0} = 1$ .

6) L'équation de Kepler. Sur son orbite elliptique d'excentricité $e \in [0, 1 [$ — la lettre $e$ désigne ici l'excentricité, et non le nombre $e$ —, la position d'une planète est donnée par un angle $E$ , l'anomalie excentrique, solution de l'équation $E - e sin E = M$ , où l'anomalie moyenne $M$ est un réel connu, proportionnel au temps écoulé depuis le passage au plus près du Soleil.

Montrer que $φ : E \mapsto M + e sin E$ envoie $R$ dans $[M - e, M + e]$ , qu'elle réduit les distances d'un facteur $e$ sur ce segment, et en déduire que l'équation de Kepler a une unique solution réelle $E^{*}$ .
Montrer que les itérées $E_{n + 1} = φ (E_{n})$ convergent vers $E^{*}$ pour tout $E_{0} \in [M - e, M + e]$ .
Combien d'itérations la question 2 garantit-elle pour une précision de $1 0^{- 10}$ , pour la Terre ( $e \approx 0, 0167$ ) et pour une comète d'excentricité $0, 9$ ? Énoncer le théorème obtenu.

Corrigé de la question 1

1) Existence et unicité du point fixe. Continuité. Une fonction qui réduit les distances est continue : pour $x_{0} \in [a, b]$ , $∣ f (x) - f (x_{0}) ∣ \leq k ∣ x - x_{0} ∣ \to 0$ quand $x \to x_{0}$ .

Existence. Posons $g (x) = f (x) - x$ , continue sur $[a, b]$ . Comme $f$ est à valeurs dans $[a, b]$ , $g (a) = f (a) - a \geq 0$ et $g (b) = f (b) - b \leq 0$ . Le théorème des valeurs intermédiaires fournit $ℓ \in [a, b]$ tel que $g (ℓ) = 0$ , c'est-à-dire $f (ℓ) = ℓ$ .

Unicité. Si $ℓ$ et $ℓ^{'}$ sont deux points fixes, $∣ ℓ - ℓ^{'} ∣ = ∣ f (ℓ) - f (ℓ^{'}) ∣ \leq k ∣ ℓ - ℓ^{'} ∣$ , donc $(1 - k) ∣ ℓ - ℓ^{'} ∣ \leq 0$ ; comme $1 - k > 0$ , $ℓ = ℓ^{'}$ . $f$ a un unique point fixe $ℓ$ .

Le point délicat. L'existence n'utilise que la continuité et la stabilité du segment ; l'unicité n'utilise que la réduction des distances. Et l'existence est obtenue sans construire le point fixe, par le théorème des valeurs intermédiaires, que seule la dimension un rend disponible.

Question 2 : comment l'IA t'aide

2) Soient $u_{0} \in [a, b]$ et la suite définie par $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . Montrer que pour tout $n$ : $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq k^{n} ∣ u_{0} - ℓ ∣ \leq k^{n} (b - a)$ .

Élève

Pour le 2), j'ai utilisé la réduction des distances entre $u_{n}$ et $u_{n - 1}$ : $∣ u_{n + 1} - u_{n} ∣ \leq k ∣ u_{n} - u_{n - 1} ∣$ . Mais je ne vois pas comment en tirer une majoration de $∣ u_{n} - ℓ ∣$ .

Ton inégalité est juste, mais elle compare deux termes consécutifs. Quel point particulier de $[a, b]$ pourrais-tu associer à $u_{n}$ dans l'hypothèse de l'énoncé pour faire apparaître $ℓ$ ?

Élève

Le point fixe : puisque $f (ℓ) = ℓ$ , $∣ f (u_{n}) - f (ℓ) ∣$ n'est autre que $∣ u_{n + 1} - ℓ ∣$ , et l'hypothèse le majore par $k ∣ u_{n} - ℓ ∣$ .

Oui. Pourquoi as-tu le droit d'appliquer l'hypothèse au point $u_{n}$ , et comment passes-tu de cette inégalité entre deux rangs consécutifs à la majoration annoncée, puis à la borne en $b - a$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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