Problème : le théorème du point fixe de Banach, et l'équation de Kepler

1) Existence et unicité du point fixe. Continuité. Une fonction qui réduit les distances est continue : pour $x_0\in [a,b]$, $|f(x)-f(x_0)|\le k|x-x_0|\to 0$ quand $x\to x_0$.

Existence. Posons $g(x)=f(x)-x$, continue sur $[a,b]$. Comme $f$ est à valeurs dans $[a,b]$, $g(a)=f(a)-a\ge 0$ et $g(b)=f(b)-b\le 0$. Le théorème des valeurs intermédiaires fournit $\ell \in [a,b]$ tel que $g(\ell )=0$, c'est-à-dire $f(\ell )=\ell$.

Unicité. Si $\ell$ et ${\ell }^{\prime }$ sont deux points fixes, $|\ell -{\ell }^{\prime }|=|f(\ell )-f({\ell }^{\prime })|\le k|\ell -{\ell }^{\prime }|$, donc $(1-k)|\ell -{\ell }^{\prime }|\le 0$ ; comme $1-k>0$, $\ell ={\ell }^{\prime }$. $f$ a un unique point fixe $\ell$.

Le point délicat. L'existence n'utilise que la continuité et la stabilité du segment ; l'unicité n'utilise que la réduction des distances. Et l'existence est obtenue sans construire le point fixe, par le théorème des valeurs intermédiaires, que seule la dimension un rend disponible.

2) La convergence géométrique. Comme $[a,b]$ est stable par $f$ et $u_0\in [a,b]$, tous les $u_n$ sont dans $[a,b]$. Pour tout $n$, puisque $f(\ell )=\ell$, $$|u_{n+1}-\ell |=|f(u_n)-f(\ell )|\le k|u_n-\ell |.$$ Par récurrence, $|u_n-\ell |\le k^n|u_0-\ell |$, et $|u_0-\ell |\le b-a$ puisque $u_0$ et $\ell$ sont dans $[a,b]$. Comme $0\le k<1$, $k^n\to 0$ : la suite converge vers $\ell$, et l'erreur est majorée par une suite géométrique de raison $k$. Cette majoration est dite a priori : elle se calcule avant toute itération.

3) L'estimation a posteriori. Soit $n\ge 1$. Par l'hypothèse sur $f$ puis l'inégalité triangulaire, $$|u_n-\ell |=|f(u_{n-1})-f(\ell )|\le k|u_{n-1}-\ell |\le k(|u_{n-1}-u_n|+|u_n-\ell |).$$ En regroupant, $(1-k)|u_n-\ell |\le k|u_n-u_{n-1}|$, et comme $1-k>0$, $$|u_n-\ell |\le \frac{k}{1-k}|u_n-u_{n-1}|.$$ Pourquoi c'est un critère d'arrêt. Le membre de gauche fait intervenir $\ell$, inconnu ; le membre de droite, deux itérés déjà calculés. On arrête le calcul dès que $\frac{k}{1-k}|u_n-u_{n-1}|$ passe sous la précision voulue : la précision est alors certaine, sans connaître la limite.

4) La vitesse réelle. L'hypothèse, fournie par la dérivée. Si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ avec $|f^{\prime }|\le k$ sur l'intervalle $[a,b]$, l'inégalité des accroissements finis donne exactement $|f(x)-f(y)|\le k|x-y|$ pour tous $x,y$ de $[a,b]$ : $f$ réduit les distances d'un facteur $k$.

Le rapport des erreurs. Supposons $u_n\ne \ell$ pour tout $n$. L'égalité des accroissements finis entre $u_n$ et $\ell$ fournit un réel $c_n$ strictement compris entre $u_n$ et $\ell$ tel que $$u_{n+1}-\ell =f(u_n)-f(\ell )=f^{\prime }(c_n)(u_n-\ell ),\text{donc}\frac{u_{n+1}-\ell }{u_n-\ell }=f^{\prime }(c_n).$$ Comme $|c_n-\ell |\le |u_n-\ell |\to 0$, on a $c_n\to \ell$ par encadrement ; et $f^{\prime }$ étant continue en $\ell$, l'image de la suite $(c_n)$ par $f^{\prime }$ tend vers $f^{\prime }(\ell )$ : $$\frac{u_{n+1}-\ell }{u_n-\ell }⟶f^{\prime }(\ell ).$$ La conclusion. Asymptotiquement, chaque itération multiplie l'erreur par un facteur proche de $|f^{\prime }(\ell )|$, et non par $k$ : la vitesse réelle est géométrique de raison $|f^{\prime }(\ell )|$, souvent bien plus petite que la borne $k$ ; il faut environ $\frac{\ln 10}{-\ln |f^{\prime }(\ell )|}$ itérations par décimale. Deux cas limites : si $f^{\prime }(\ell )=0$, la convergence est plus rapide que toute suite géométrique — c'est la méthode de Newton ; si $|f^{\prime }(\ell )|=1$, elle peut être très lente — ce sont les sinus itérés, $u_{n+1}=\sin u_n$.

5) Le cosinus itéré. Les hypothèses. Sur $[0,1]\subset \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, le cosinus est décroissant, donc $\cos ([0,1])=[\cos 1,1]$, inclus dans $[0,1]$ puisque $\cos 1\approx 0,540>0$ : $[0,1]$ est stable. La fonction $\cos$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, et $|{\cos }^{\prime }(x)|=\sin x\le \sin 1$ sur $[0,1]$, le sinus étant croissant et positif sur $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$. Par le 4), $\cos$ réduit les distances d'un facteur $k=\sin 1\approx 0,8415<1$ sur $[0,1]$, et le 1) fournit un unique point fixe $\ell \approx 0,739085$.

La garantie a priori. Par le 2), avec $b-a=1$, $|u_n-\ell |\le (\sin 1{)}^n$. On veut $(\sin 1{)}^n\le 10^{-6}$, soit, en prenant le logarithme et en divisant par $\ln (\sin 1)<0$, ce qui renverse l'inégalité, $$n\ge \frac{6\ln 10}{-\ln (\sin 1)}\approx \frac{13,816}{0,1726}\approx 80,04.$$ La question 2 garantit la précision $10^{-6}$ à partir de $81$ itérations — environ $13,3$ itérations par décimale.

La vitesse réelle. Si l'on avait $u_N=\ell$ pour un rang $N\ge 1$, alors $\cos u_{N-1}=\cos \ell$, avec $u_{N-1}$ et $\ell$ dans $[0,1]$, où le cosinus est injectif : $u_{N-1}=\ell$ ; en redescendant, on obtiendrait $u_0=\ell$, alors que $0$ n'est pas un point fixe. Donc $u_n\ne \ell$ pour tout $n$, et le 4) s'applique : le rapport des erreurs tend vers $f^{\prime }(\ell )=-\sin \ell \approx -0,6736$, soit $\frac{\ln 10}{-\ln 0,6736}\approx 5,8$ itérations par décimale, contre $13,3$ annoncées par la borne $\sin 1$. De fait, $33$ itérations suffisent pour la précision $10^{-6}$, et l'estimation a posteriori du 3), avec $\frac{k}{1-k}\approx 5,31$, la certifie dès $n=40$. Le signe négatif du rapport dit que les itérés tombent alternativement de part et d'autre de $\ell$.

Newton. La méthode de Newton appliquée à $x\mapsto x-\cos x$, de dérivée $1+\sin x$, donne l'itération de l'énoncé. Partie de $x_0=1$, elle fournit des erreurs d'environ $1,1\cdot 10^{-2}$, $2,8\cdot 10^{-5}$, $1,7\cdot 10^{-10}$, puis $6,4\cdot 10^{-21}$ : trois itérations pour atteindre une précision que le cosinus itéré n'atteint qu'après cinquante-cinq. Le nombre de décimales exactes double à chaque pas : la fonction itérée par Newton a une dérivée nulle au point fixe, et la séance sur l'analyse asymptotique démontrera que la convergence est alors quadratique. On se contente ici de le constater.

6) L'équation de Kepler. Stabilité et réduction des distances. Pour tout réel $E$, $-1\le \sin E\le 1$ et $e\ge 0$, donc $\phi (E)=M+e\sin E\in [M-e,M+e]$ : $\phi$ envoie $\mathbb{R}$ dans le segment $[M-e,M+e]$, qui est en particulier stable. La fonction $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, de dérivée ${\phi }^{\prime }(E)=e\cos E$, et $|{\phi }^{\prime }|\le e$ : par le 4), elle réduit les distances d'un facteur $e<1$ sur ce segment. (Si $e=0$, l'équation se réduit à $E=M$ ; on suppose désormais $e>0$, pour que le segment ne soit pas réduit à un point.)

Existence et unicité. Le 1) fournit un unique point fixe $E^{\ast }$ de $\phi$ dans $[M-e,M+e]$. Et toute solution réelle $E$ de l'équation de Kepler vérifie $E=\phi (E)\in [M-e,M+e]$ : elle est dans le segment, donc égale à $E^{\ast }$. L'équation de Kepler a une unique solution réelle.

La convergence des itérées. Pour $E_0\in [M-e,M+e]$, le 2), avec un segment de longueur $2e$, donne $|E_n-E^{\ast }|\le e^n\cdot 2e$, qui tend vers $0$ : les itérées convergent vers $E^{\ast }$ — et même pour $E_0$ réel quelconque, puisque $E_1=\phi (E_0)$ est déjà dans le segment.

Le compte. On veut $2e\cdot e^n\le 10^{-10}$. Pour la Terre, $e\approx 0,0167$ : $2e\cdot e^4\approx 2,6\cdot 10^{-9}$ ne suffit pas, $2e\cdot e^5\approx 4,3\cdot 10^{-11}$ suffit : cinq itérations. Pour une comète d'excentricité $0,9$, il faut $1,8\times 0,9^n\le 10^{-10}$, soit $n\ge \frac{\ln \left(1,8\cdot 10^{10}\right)}{-\ln 0,9}\approx 224,1$ : deux cent vingt-cinq itérations.

Ce qui se passe réellement. En partant de $E_0=M=1$, quatre itérations suffisent pour la Terre, et dix-sept pour la comète : le rapport des erreurs tend vers ${\phi }^{\prime }(E^{\ast })=e\cos E^{\ast }$, environ $0,26$ en valeur absolue pour la comète, bien moins que la borne $0,9$. L'estimation a posteriori du 3) permet d'arrêter le calcul, en toute sécurité, après une vingtaine d'itérations.

Le théorème obtenu.

Théorème du point fixe de Banach (1922), en dimension un. Soit $f$ une fonction qui envoie un segment $[a,b]$ dans lui-même et qui y réduit les distances d'un facteur $k\in [0,1[$ : $|f(x)-f(y)|\le k|x-y|$ pour tous $x,y$. Alors $f$ a un unique point fixe $\ell$ dans $[a,b]$ ; pour tout $u_0\in [a,b]$, la suite $u_{n+1}=f(u_n)$ converge vers $\ell$, avec $|u_n-\ell |\le k^n(b-a)$ et $|u_n-\ell |\le \frac{k}{1-k}|u_n-u_{n-1}|$. Si de plus $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, la vitesse réelle est géométrique de raison $|f^{\prime }(\ell )|$.

Application — l'équation de Kepler. Pour toute excentricité $e\in [0,1[$ et tout réel $M$, l'équation $E-e\sin E=M$ a une unique solution réelle, limite des itérées $E_{n+1}=M+e\sin E_n$.

Ce que le problème installe. Le cadre complet de l'étude d'une méthode itérative : existence de la limite, majoration a priori de l'erreur, estimation a posteriori qui sert de critère d'arrêt, vitesse réelle lue sur la dérivée au point fixe. Le panorama des vitesses du cours s'y lit entièrement : géométrique quand $0<|f^{\prime }(\ell )|<1$, plus rapide quand $f^{\prime }(\ell )=0$ (Newton, démontré dans la séance sur l'analyse asymptotique), lente quand $|f^{\prime }(\ell )|=1$. Et l'on a résolu une équation de mécanique céleste qu'aucune formule ne résout. Les logiciels de simulation que l'on rencontre en sciences industrielles résolvent de la même façon, par itérations et avec un critère d'arrêt, les équations qu'on ne sait pas résoudre à la main.