Recoller une droite sur une parabole

Stratégie : deux conditions, dans l'ordre — la continuité d'abord, la dérivabilité ensuite. Il n'y a rien à vérifier ailleurs qu'au point de raccordement.

Sur $]-\infty ,1[$ et sur $]1,+\infty [$, la fonction coïncide avec un polynôme : elle y est de classe ${\mathcal{C}}^1$ quels que soient $a$ et $b$. Tout se joue en $x=1$.

1) La continuité en $1$. La limite à gauche vaut $1^2=1$ ; la limite à droite vaut $a+b$ ; et $f(1)=1$. La continuité impose donc

$$a+b=1.$$

⚠️ Cette condition vient en premier, et pas seulement par habitude : sans continuité, la fonction ne peut pas être dérivable en $1$, puisque dérivable entraîne continue. Chercher à égaler les dérivées avant d'avoir recollé les valeurs n'aurait aucun sens.

2) La dérivabilité en $1$. Sur $]-\infty ,1[$ on a $f^{\prime }(x)=2x$, de limite $2$ en $1$ ; sur $]1,+\infty [$ on a $f^{\prime }(x)=a$, de limite $a$. La fonction étant continue en $1$ et sa dérivée admettant des limites en $1$ à gauche et à droite, le théorème de la limite de la dérivée s'applique : $f$ est dérivable en $1$, avec $f^{\prime }(1)$ égal à cette limite, à condition que les deux limites coïncident. D'où

$$a=2,\text{puis}b=1-a=-1.$$

$$\boxed{a=2,b=-1,\text{c’est-aˋ-dire }f(x)=2x-1\text{ pour }x>1.}$$

Avec ces valeurs, $f^{\prime }$ vaut $2x$ à gauche et $2$ à droite, avec $f^{\prime }(1)=2$ : elle est continue en $1$, donc $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$.

3) L'interprétation géométrique. La droite d'équation $y=2x-1$ est exactement la tangente à la parabole $y=x^2$ au point d'abscisse $1$ : la tangente a pour équation $y=f(1)+f^{\prime }(1)(x-1)=1+2(x-1)=2x-1$. Raccorder une droite à une courbe de façon ${\mathcal{C}}^1$, c'est nécessairement la prolonger par sa tangente — il n'y a pas d'autre choix.

Contrôles numériques. $f(1)=1$ des deux côtés ✔. Pour $x=1,5$ : la droite donne $2$. Et $x^2-(2x-1)=(x-1{)}^2\ge 0$ : la parabole est toujours au-dessus de sa tangente, avec égalité au seul point de contact — la traduction, ici visible à l'œil nu, du fait que la parabole $x\mapsto x^2$ tourne toujours sa concavité vers le haut. ✔

Ce que l'exercice installe. Un raccordement ${\mathcal{C}}^1$ se traite en deux équations, dans cet ordre : même valeur, puis même pente. Le théorème de la limite de la dérivée est l'outil qui évite de revenir au taux d'accroissement. Et l'on retient le fait géométrique : la seule droite qui se recolle proprement à une courbe est sa tangente.