TVI et équation

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (PTSI), chapitre 6 — Limites, continuité, dérivabilité · B. Continuité et grands théorèmes

Énoncé

Montrer que l'équation $x = cos x$ admet une unique solution dans $R$ , située dans $] 0, \frac{π}{2} [$ .

Corrigé

Posons $g (x) = x - cos x$ , continue sur $R$ . On a $g (0) = - 1 < 0$ et $g (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} > 0$ : par le TVI, $g$ s'annule en un point de $] 0, \frac{π}{2} [$ .

Unicité : $g^{'} (x) = 1 + sin x \geq 0$ , nulle seulement aux points isolés $x \equiv - \frac{π}{2} [2 π]$ : $g$ est strictement croissante sur $R$ , donc injective — l'équation a au plus une solution. (Hors de $[- 1, 1]$ , d'ailleurs, $∣ x ∣ > 1 \geq ∣ cos x ∣$ interdit toute solution.)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.