Une dérivée qui s'annule sans casser la croissance

Stratégie : par l'absurde. On suppose deux valeurs égales, et l'on montre que la fonction est alors constante sur tout un intervalle — ce qui fabrique une infinité de zéros de la dérivée.

1) La croissance au sens large, d'abord. Soient $x<y$ dans $[a,b]$. La fonction $f$ est continue sur $[x,y]$ et dérivable sur $]x,y[$ : l'égalité des accroissements finis fournit un $c\in ]x,y[$ tel que

$$f(y)-f(x)=f^{\prime }(c)(y-x).$$

Le facteur $f^{\prime }(c)$ est positif ou nul par hypothèse, et $y-x>0$ : donc $f(y)\ge f(x)$. La fonction est croissante au sens large.

2) L'égalité est impossible. Supposons, par l'absurde, qu'il existe $x<y$ avec $f(x)=f(y)$. Soit $t$ un point quelconque de $[x,y]$. La croissance donne

$$f(x)\le f(t)\le f(y)=f(x),$$

et les deux inégalités se referment : $f(t)=f(x)$. Autrement dit, $f$ est constante sur tout le segment $[x,y]$.

Une fonction constante a une dérivée nulle : $f^{\prime }(t)=0$ pour tout $t\in ]x,y[$. Or $]x,y[$ est un intervalle non réduit à un point : il contient une infinité de réels. La dérivée aurait donc une infinité de zéros, ce que l'hypothèse interdit.

3) Conclusion. Pour tous $x<y$, l'égalité $f(x)=f(y)$ est exclue, et la croissance large donne $f(x)\le f(y)$ : il reste $f(x)<f(y)$. La fonction $f$ est strictement croissante.

⚠️ Ce n'est pas le nombre de zéros qui compte, c'est leur ÉPAISSEUR. L'hypothèse « un nombre fini de points » sert uniquement à interdire qu'un intervalle entier soit fait de zéros. Un ensemble infini de zéros serait d'ailleurs acceptable s'il restait sans épaisseur — le cours énonce d'ailleurs la condition sous la forme : $f^{\prime }$ ne s'annule sur aucun intervalle non trivial. C'est bien ce dernier énoncé que la démonstration utilise, et lui seul.

⚠️ La réciproque n'est pas vraie non plus, et le contre-exemple est instructif : la fonction qui vaut $0$ sur ${\mathbb{R}}_{-}$ et $x^2$ sur ${\mathbb{R}}_{+}$ est dérivable, de dérivée positive ou nulle, mais elle est constante sur toute la demi-droite négative — sa dérivée s'y annule sur un intervalle entier, et la fonction n'est pas strictement croissante, puisqu'elle prend la même valeur $0$ en $-2$ et en $-1$.

4) L'application à $x\mapsto x^3$. Posons $g(x)=x^3$ sur $\mathbb{R}$. Elle est dérivable, de dérivée $g^{\prime }(x)=3x^2\ge 0$, qui s'annule au seul point $x=0$ : un point, donc un nombre fini. Sur n'importe quel segment $[a,b]$, l'énoncé démontré s'applique et $g$ y est strictement croissante ; comme deux réels quelconques appartiennent toujours à un même segment, $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Et pourtant sa tangente en $0$ est horizontale. Voilà le fait à retenir : le graphe s'aplatit un instant sans jamais reculer.

Contrôles numériques. Sur vingt mille et un points régulièrement répartis dans $[-3,3]$, la suite des cubes est strictement croissante d'un point au suivant : aucune exception. Sur quatre cents couples $(u,v)$ tirés au hasard dans $[-5,5]$, l'équivalence $u<v⟺u^3<v^3$ est vérifiée à chaque fois. ✔ Et le contre-exemple du deuxième avertissement se contrôle d'un mot : la fonction y vaut $0$ en $-2$ comme en $-1$. ✔

Ce que l'exercice installe. « Dérivée strictement positive » est une condition suffisante de stricte croissance, jamais nécessaire. Le bon critère est plus fin : dérivée positive, et jamais nulle sur tout un intervalle. C'est lui qu'il faut invoquer chaque fois qu'un tableau de variations comporte une tangente horizontale au milieu d'une flèche montante — situation banale, dont $x\mapsto x^3$ est le premier exemple.