Une vitesse limite impose une pente asymptotique

La stratégie. L'égalité des accroissements finis convertit une information sur la dérivée en une information sur la fonction. On l'applique entre un point $A$ fixé, au-delà duquel $f^{\prime }$ est proche de $\ell$, et un point $x$ qui part à l'infini.

a) La majoration. Soit $x>A$. La fonction $f$ est continue sur $[A,x]$ et dérivable sur $\left]A,x\right[$ : l'égalité des accroissements finis fournit $c\in \left]A,x\right[$ tel que $f(x)-f(A)=f^{\prime }(c)(x-A)$. Alors $$f(x)-f(A)-\ell (x-A)=(f^{\prime }(c)-\ell )(x-A),$$ et comme $c>A$, $|f^{\prime }(c)-\ell |\le \epsilon$ ; d'où, $x-A$ étant positif, la majoration voulue.

b) La pente asymptotique. Soit $\epsilon >0$, et $A\ge 0$ tel que $|f^{\prime }(t)-\ell |\le \epsilon$ pour tout $t\ge A$ ; il existe par définition de la limite en $+\infty$. Pour $x>A$, $x>0$, écrivons $$\frac{f(x)}{x}-\ell =\frac{f(x)-f(A)-\ell (x-A)}{x}+\frac{f(A)-\ell A}{x}.$$ Par le a), le premier terme est en valeur absolue au plus $\frac{\epsilon (x-A)}{x}\le \epsilon$. Le second est une constante — $A$ est fixé — divisée par $x$ : il existe $B>A$ tel qu'il soit, en valeur absolue, au plus $\epsilon$ pour $x\ge B$. Pour tout $x\ge B$, $$\left|\frac{f(x)}{x}-\ell \right|\le 2\epsilon .$$ Ceci valant pour tout $\epsilon >0$, $\frac{f(x)}{x}\to \ell$.

Le point délicat. Le même que pour le théorème de Cesàro : $A$ est choisi avant que $x$ ne parte à l'infini, et c'est pour cela que $f(A)-\ell A$ est une constante, écrasée par la division par $x$. Le comportement de $f$ sur $[0,A]$ est quelconque, mais il ne compte pas.

c) La réciproque est fausse. Soit $f(x)=\sin (x^2)$, dérivable. D'une part $\left|\frac{f(x)}{x}\right|\le \frac{1}{x}$ pour $x>0$, donc $\frac{f(x)}{x}\to 0$. D'autre part, $f^{\prime }(x)=2x\cos (x^2)$ n'a pas de limite en $+\infty$. En effet, supposons par l'absurde que $f^{\prime }$ ait une limite $L$, finie ou infinie, en $+\infty$. Les suites $x_n=\sqrt{2n\pi }$ et $y_n=\sqrt{2n\pi +\frac{\pi }{2}}$ tendent vers $+\infty$ ; par le théorème sur l'image d'une suite par une fonction qui admet une limite, $f^{\prime }(x_n)\to L$ et $f^{\prime }(y_n)\to L$. Or $f^{\prime }(x_n)=2\sqrt{2n\pi }\to +\infty$, tandis que $f^{\prime }(y_n)=0$ pour tout $n$ : on aurait à la fois $L=+\infty$ et $L=0$, ce qui est absurde. Une pente moyenne peut converger sans que la pente instantanée converge : la fonction oscille de plus en plus vite, avec des pentes énormes, tout en restant bornée.

d) La vitesse moyenne. Soit $x(t)$ la position du mobile, de vitesse $v(t)=x^{\prime }(t)\to v_{\infty }$. Par le b), $\frac{x(t)}{t}\to v_{\infty }$, et comme $\frac{x(0)}{t}\to 0$, $$\frac{x(t)-x(0)}{t}⟶v_{\infty }:$$ la vitesse moyenne tend vers la vitesse limite, quelle que soit la phase d'accélération initiale. Pour une chute avec un frottement proportionnel à la vitesse, $v(t)=v_{\infty }\left(1-e^{-t/\tau }\right)$ ; la fonction $t\mapsto v_{\infty }t-v_{\infty }\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right)$ a pour dérivée $v(t)$ et s'annule en $0$ : deux fonctions de même dérivée sur un intervalle diffèrent d'une constante, et celle-ci est nulle, donc c'est $x(t)-x(0)$, et son quotient par $t$ tend bien vers $v_{\infty }$.

Le rapprochement. C'est la version continue du lemme de l'escalier de la séance sur les suites : là, des accroissements $v_{n+1}-v_n$ qui tendent vers $\ell$ imposaient $\frac{v_n}{n}\to \ell$, par une somme télescopique et le théorème de Cesàro ; ici, une dérivée qui tend vers $\ell$ impose $\frac{f(x)}{x}\to \ell$, et c'est l'égalité des accroissements finis qui remplace le télescopage.

Ce que l'exercice installe. L'égalité des accroissements finis comme pont entre la dérivée et la fonction : une information asymptotique sur $f^{\prime }$ devient une information asymptotique sur $f$, par la technique du théorème de Cesàro transposée au continu. L'implication ne se renverse pas : la dérivée porte plus d'information que la fonction. En mécanique, c'est ce qui justifie de lire une vitesse limite sur la pente finale d'un enregistrement de position.