Une vitesse limite impose une pente asymptotique

Soit $f:[0,+\infty [\to \mathbb{R}$ une fonction dérivable telle que $f^{\prime }(x)\to \ell$ quand $x\to +\infty$, avec $\ell \in \mathbb{R}$.

a) Soient $\epsilon >0$ et $A\ge 0$ tels que $|f^{\prime }(t)-\ell |\le \epsilon$ pour tout $t\ge A$. À l'aide de l'égalité des accroissements finis, montrer que pour tout $x>A$ : $$\left|f(x)-f(A)-\ell (x-A)\right|\le \epsilon (x-A).$$

b) En déduire que $\frac{f(x)}{x}\to \ell$ quand $x\to +\infty$.

c) La réciproque est-elle vraie ? On pourra étudier $x\mapsto \sin (x^2)$.

d) Interpréter pour un mobile dont la vitesse tend vers une vitesse limite $v_{\infty }$, comme un corps qui tombe dans l'air en subissant un frottement : que devient sa vitesse moyenne sur $[0,t]$ quand $t\to +\infty$ ? Rapprocher du lemme de l'escalier de la séance sur les suites.