Deux modèles, un croisement (transition énergétique)

Suites numériques et modèles discrets · niveau 1 (application)

Énoncé

Deux modèles, un croisement (transition énergétique).

Dans un pays, on modélise sur dix ans la puissance éolienne installée par $v_{n} = 8 \times 1, 1 4^{n}$ et la puissance charbon par $c_{n} = 26 - 1, 2 n$ (en GW, $n$ en années).

Préciser la nature de chaque suite et sa limite.
À partir de quelle année l'éolien dépasse-t-il le charbon ?
Ces deux modèles peuvent-ils rester valables indéfiniment ?

Corrigé

Nature et limites : $(v_{n})$ est géométrique de raison $q = 1, 14 > 1$ , donc $v_{n} \to + \infty$ . $(c_{n})$ est arithmétique de raison $r = - 1, 2 < 0$ , donc $c_{n} \to - \infty$ .
Croisement : on compare terme à terme.

$v_{6} \approx 17, 6 < c_{6} = 18, 8, v_{7} \approx 20, 0 > c_{7} = 17, 6.$

L'éolien dépasse le charbon à partir de la 7^e année.

Validité : non. Le modèle du charbon donne $c_{n} = 0$ pour $n = \frac{26}{1 , 2} \approx 21, 7$ puis des puissances négatives, ce qui n'a pas de sens ; celui de l'éolien prévoit une puissance qui dépasserait toute borne, ce qu'aucun territoire ne permet. Chaque modèle n'est valable que sur la plage où il a été ajusté.

Une suite géométrique de raison supérieure à $1$ finit toujours par dépasser une suite arithmétique, quel que soit son retard initial : c'est la nature des modèles, et non leurs premières valeurs, qui décide de l'issue.