Deux villes qui échangent leurs habitants (sciences sociales)

Deux villes qui échangent leurs habitants (sciences sociales).

Deux villes $A$ et $B$ comptent ensemble $100000$ habitants, nombre que l'on suppose constant. Chaque année, $10\%$ des habitants de $A$ s'installent en $B$, et $5\%$ des habitants de $B$ s'installent en $A$. On note $a_n$ la population de $A$ au bout de $n$ années, avec $a_0=60000$.

• Justifier que $a_{n+1}=0,9a_n+0,05(100000-a_n)$, puis que $a_{n+1}=0,85a_n+5000$.
• Exprimer $a_n$ en fonction de $n$, puis déterminer sa limite.
• Au bout de combien d'années la ville $A$ compte-t-elle moins de $35000$ habitants ?