Le multiplicateur d'une relance (économie) — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 1)

Le multiplicateur d'une relance (économie)

Suites numériques et modèles discrets · niveau 1 (application)

Énoncé

Le multiplicateur d'une relance (économie).

Un plan de relance injecte $800$ millions d'euros dans l'économie. On admet que les ménages qui reçoivent un euro en redépensent $75 %$ , et ainsi de suite. On note $S_{n}$ le total dépensé après la vague initiale et $n$ vagues successives :

$S_{n} = 800 (1 + 0, 75 + 0, 7 5^{2} + \dots + 0, 7 5^{n}) (en millions d’euros) .$

Exprimer $S_{n}$ sans points de suspension.
Déterminer la limite de $(S_{n})$ et l'interpréter.
Combien de vagues faut-il pour dépasser $3$ milliards d'euros ?

Corrigé

Somme des termes d'une géométrique : avec $q = 0, 75 \neq = 1$ ,

$S_{n} = 800 \times \frac{1 - 0 , 7 5 ^{n + 1}}{1 - 0 , 75} = 3200 (1 - 0, 7 5^{n + 1}) .$

Passage à la limite : comme $0 < 0, 75 < 1$ , on a $0, 7 5^{n + 1} \to 0$ , donc

$n \to + \infty lim S_{n} = \frac{800}{1 - 0 , 75} = 3200.$

La dépense totale ne dépasse pas $3, 2$ milliards : c'est l'effet multiplicateur, ici égal à $\frac{1}{1 - 0 , 75} = 4$ . Une infinité de vagues de dépenses produit un total fini.

Seuil : on calcule $S_{8} = 3200 (1 - 0, 7 5^{9}) \approx 2959, 7$ et $S_{9} = 3200 (1 - 0, 7 5^{10}) \approx 3019, 8$ . Le seuil est franchi pour $n = 9$ , c'est-à-dire au bout de dix vagues.

Le multiplicateur ne dit pas que l'argent se crée : il dit que le même euro est dépensé plusieurs fois, et que ce nombre de fois est $\frac{1}{1 - q}$ .