mathématiques complémentaires (terminale) · Chapitre 1 · Application directe du cours

Problème — Freiner une épidémie (santé publique)

Suites numériques et modèles discrets · niveau 1 (application)

Énoncé

Problème — Freiner une épidémie (santé publique).

On note $u_{n}$ le nombre de cas d'une maladie déclarés la semaine $n$ , et l'on modélise sa propagation par $u_{n + 1} = R u_{n}$ , où $R$ est le nombre de reproduction effectif. La première semaine, $u_{0} = 1500$ cas sont déclarés.

Pour $R = 0, 8$ , préciser la nature de $(u_{n})$ et sa limite.
Déterminer le nombre total de cas de l'épidémie entière.
À partir de quelle semaine compte-t-on moins de $10$ cas ?
On suppose maintenant $R = 1, 1$ . Sachant que $6 %$ des cas sont hospitalisés et que l'hôpital peut admettre $400$ patients par semaine, quand la capacité sera-t-elle dépassée ?
Une vaccination couvrant une proportion $v$ de la population ramène le nombre de reproduction à $R = R_{0} (1 - v)$ . Pour $R_{0} = 2, 5$ , quelle couverture faut-il atteindre ?
Quelle est la limite de ce modèle ?

Corrigé

Nature et limite : $(u_{n})$ est géométrique de raison $R = 0, 8$ , et $0 < 0, 8 < 1$ , donc $u_{n} = 1500 \times 0, 8^{n} \to 0$ . L'épidémie s'éteint.
Taille finale : le nombre total de cas est la somme

$S_{n} = 1500 (1 + 0, 8 + \dots + 0, 8^{n}) = 1500 \times \frac{1 - 0 , 8 ^{n + 1}}{1 - 0 , 8}, n \to + \infty lim S_{n} = \frac{1500}{0 , 2} = 7500.$

Bien que le modèle ne prévoie l'extinction à aucune semaine précise, le nombre total de cas reste fini : environ $7500$ .

Seuil : $u_{22} \approx 11, 1$ et $u_{23} \approx 8, 9$ . On passe sous les $10$ cas hebdomadaires à la 23^e semaine.
Cas $R = 1, 1$ : $1, 1 > 1$ donc $u_{n} \to + \infty$ . Le nombre d'hospitalisations hebdomadaires est $0, 06 u_{n} = 90 \times 1, 1^{n}$ . On calcule $0, 06 u_{15} \approx 376$ et $0, 06 u_{16} \approx 414$ : la capacité est dépassée dès la 16^e semaine.
Couverture vaccinale : il faut $R < 1$ , c'est-à-dire $2, 5 (1 - v) < 1$ , soit

$1 - v < \frac{1}{2 , 5} = 0, 4, donc v > 0, 6.$

Il faut vacciner plus de $60 %$ de la population. Avec $v = 0, 5$ , on aurait $R = 1, 25 > 1$ et l'épidémie repartirait.

Limite du modèle : il suppose $R$ constant. Or, à mesure que la maladie circule, la part de personnes immunisées augmente et $R$ diminue de lui-même. Le modèle géométrique ne décrit correctement que la phase initiale d'une épidémie.

Tout se joue sur la position de $R$ par rapport à $1$ — la même frontière que pour la raison $q$ d'une suite géométrique. La vaccination ne fait rien d'autre que faire passer $R$ de l'autre côté.

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