Problème — Régler une posologie — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 1)

Problème — Régler une posologie

Suites numériques et modèles discrets · niveau 2

Énoncé

Problème — Régler une posologie.

Un médicament est éliminé à hauteur de $40 %$ en douze heures. Un patient en reçoit une dose de $D$ mg toutes les douze heures. On note $u_{n}$ la quantité de principe actif présente juste après la prise de rang $n$ , la première prise portant le rang $0$ ; on a donc $u_{0} = D$ .

Justifier que $u_{n + 1} = 0, 6 u_{n} + D$ .
Déterminer la solution constante, puis l'expression de $u_{n}$ .
Quelle dose $D$ faut-il choisir pour que le plateau soit de $15$ mg ?
Avec cette dose, au bout de combien d'heures atteint-on $90 %$ du plateau ?
On envisage un second régime : $12$ mg toutes les vingt-quatre heures. Déterminer son plateau et le comparer au premier, sachant que le seuil de toxicité est de $18$ mg.
Quel régime recommander ?

Corrigé

Modéliser : entre deux prises, il reste $100 - 40 = 60 %$ de la quantité présente ; on ajoute ensuite la dose : $u_{n + 1} = 0, 6 u_{n} + D$ .
Solution constante et forme explicite : $c = 0, 6 c + D$ donne $0, 4 c = D$ , soit $c = \frac{D}{0 , 4} = 2, 5 D$ . La suite $v_{n} = u_{n} - 2, 5 D$ est géométrique de raison $0, 6$ , avec $v_{0} = D - 2, 5 D = - 1, 5 D$ , donc

$u_{n} = 2, 5 D - 1, 5 D \times 0, 6^{n} .$

Comme $0 < 0, 6 < 1$ , on a $u_{n} \to 2, 5 D$ : le plateau vaut $2, 5 D$ .

Choisir la dose : $2, 5 D = 15$ donne $D = 6$ mg. La suite s'écrit alors $u_{n} = 15 - 9 \times 0, 6^{n}$ .
Seuil : on cherche le premier rang tel que $u_{n} > 13, 5$ ( $90 %$ de $15$ ). On calcule $u_{3} = 13, 056$ et $u_{4} \approx 13, 834$ : le seuil est franchi au rang $4$ , c'est-à-dire 48 heures après la première prise.
Le second régime : sur vingt-quatre heures, il reste $0, 6 \times 0, 6 = 0, 36$ de la quantité présente. En notant $w_{n}$ la quantité après la prise de rang $n$ ( $w_{0} = 12$ ) :

$w_{n + 1} = 0, 36 w_{n} + 12, c = \frac{12}{1 - 0 , 36} = 18, 75, w_{n} = 18, 75 - 6, 75 \times 0, 3 6^{n} .$

Le plateau vaut $18, 75$ mg, au-dessus du seuil de toxicité. Or $w_{2} \approx 17, 88$ et $w_{3} \approx 18, 44$ : le seuil de $18$ mg est franchi dès le rang $3$ , soit le troisième jour.

Comparer : les deux régimes délivrent la même dose quotidienne, $12$ mg. Mais juste avant une prise, il reste $0, 6 \times 15 = 9$ mg avec le régime A, contre $0, 36 \times 18, 75 = 6, 75$ mg avec le régime B. Le régime A oscille entre $9$ et $15$ mg, le régime B entre $6, 75$ et $18, 75$ mg.

On recommande le régime A : à dose quotidienne égale, espacer les prises fait monter les pics et descendre les creux. C'est le plateau $\frac{b}{1 - a}$ qui décide de la toxicité, pas la dose quotidienne.