Trois grandeurs, trois comportements — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 1)

Trois grandeurs, trois comportements

Suites numériques et modèles discrets · niveau 1 (application)

Énoncé

Trois grandeurs, trois comportements.

On relève trois grandeurs à intervalles réguliers.

Une culture de levures est comptée toutes les trois heures ; le nombre de cellules, en milliers, est modélisé par $u_{n} = 250 \times 1, 1 2^{n}$ .
Un anesthésiant est éliminé par l'organisme ; la quantité restante, en mg, relevée d'heure en heure, est $v_{n} = 40 \times 0, 8 5^{n}$ .
La salinité d'un bassin d'aquaculture, en g/L, relevée chaque jour, est $w_{n} = 20 + 5 \times 0, 8 5^{n}$ .

Déterminer la limite de chacune de ces suites, puis calculer le terme de rang $10$ .

Reconnaître la raison : $(u_{n})$ est géométrique de raison $q = 1, 12$ et de premier terme $250$ . Comme $q > 1$ , le théorème donne $1, 1 2^{n} \to + \infty$ , et en multipliant par $250 > 0$ :

$n \to + \infty lim u_{n} = + \infty, u_{10} = 250 \times 1, 1 2^{10} \approx 776.$

Au bout de $30$ heures, environ $776000$ cellules.

Une raison plus petite que $1$ : $(v_{n})$ est géométrique de raison $q = 0, 85$ , et $0 < 0, 85 < 1$ , donc $0, 8 5^{n} \to 0$ :

$n \to + \infty lim v_{n} = 0, v_{10} = 40 \times 0, 8 5^{10} \approx 7, 9 mg .$

Une somme : $(w_{n})$ n'est pas géométrique, mais elle est la somme de la constante $20$ et de $5 \times 0, 8 5^{n}$ , dont la limite est $0$ . Par opération sur les limites (règle admise) :

$n \to + \infty lim w_{n} = 20 + 0 = 20, w_{10} \approx 20, 98 g/L .$

Une même raison, $0, 85$ , décrit aussi bien une élimination totale qu'une stabilisation à $20$ : ce qui change est ce que l'on ajoute à côté.