Un stock de poissons (représentation en escalier)

Suites numériques et modèles discrets · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un stock de poissons (représentation en escalier).

Dans une zone de pêche protégée, la biomasse exploitable, en tonnes, est modélisée par

$u_{n + 1} = f (u_{n}) avec f (x) = \frac{1 , 6 x}{1 + \frac{x}{500}}, u_{0} = 60.$

Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ (arrondis à $0, 1$ près).
Déterminer les points fixes de $f$ .
Conjecturer, à l'aide de la construction en escalier, le comportement de $(u_{n})$ .

Corrigé

Premiers termes :

$u_{1} = \frac{1 , 6 \times 60}{1 + \frac{60}{500}} = \frac{96}{1 , 12} \approx 85, 7, u_{2} \approx 117, 1, u_{3} \approx 151, 8.$

Points fixes : on résout $f (x) = x$ pour $x \geq 0$ :

$\frac{1 , 6 x}{1 + \frac{x}{500}} = x ⟺ 1, 6 x = x (1 + \frac{x}{500}) ⟺ \frac{x ^{2}}{500} = 0, 6 x ⟺ x (\frac{x}{500} - 0, 6) = 0.$

Les points fixes sont donc $x = 0$ et $x = 300$ .

Conjecture : la construction en escalier montre des marches montantes qui se resserrent vers le point d'intersection $(300; 300)$ . On conjecture que $(u_{n})$ est croissante et converge vers $300$ tonnes.

Le graphique ne démontre pas cette convergence : il indique seulement les deux seules limites possibles, $0$ et $300$ , et laisse voir vers laquelle la suite se dirige. Ici, $300$ tonnes est la capacité d'accueil du milieu.