Une commune qui se repeuple (sciences sociales)

Suites numériques et modèles discrets · niveau 1 (application)

Énoncé

Une commune qui se repeuple (sciences sociales).

Une commune rurale compte $3000$ habitants. Chaque année, $6 %$ des habitants la quittent, et $240$ personnes viennent s'y installer. On note $u_{n}$ la population au bout de $n$ années, avec $u_{0} = 3000$ .

Écrire la relation de récurrence.
Déterminer la population d'équilibre, puis l'expression de $u_{n}$ .
Déterminer la limite de $(u_{n})$ et l'interpréter.
En quelle année la population dépasse-t-elle $3900$ habitants ?

Corrigé

Modéliser : il reste $94 %$ des habitants, auxquels s'ajoutent $240$ arrivées : $u_{n + 1} = 0, 94 u_{n} + 240$ .
Équilibre et forme explicite : $c = 0, 94 c + 240$ donne $0, 06 c = 240$ , soit $c = 4000$ . La suite $v_{n} = u_{n} - 4000$ est géométrique de raison $0, 94$ , avec $v_{0} = - 1000$ , donc

$u_{n} = 4000 - 1000 \times 0, 9 4^{n} .$

Limite : $0 < 0, 94 < 1$ donc $0, 9 4^{n} \to 0$ et $u_{n} \to 4000$ . La commune ne se vide pas et n'explose pas : elle tend vers $4000$ habitants. Ce nombre est le rapport $\frac{240}{0 , 06}$ , c'est-à-dire les arrivées annuelles divisées par le taux de départ.
Seuil : $u_{37} \approx 3898, 7$ et $u_{38} \approx 3904, 8$ . La population dépasse $3900$ habitants la 38^e année.

Le seuil de $3900$ est atteignable parce qu'il est inférieur à la limite $4000$ ; un seuil de $4100$ ne le serait jamais.