Une épidémie entretenue par les importations — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 1)

Une épidémie entretenue par les importations

Suites numériques et modèles discrets · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une épidémie entretenue par les importations.

Dans une région, le nombre hebdomadaire de cas d'une maladie diminue de $15 %$ d'une semaine à l'autre, mais $12$ nouveaux cas sont importés chaque semaine. On note $u_{n}$ le nombre de cas de la semaine $n$ , avec $u_{0} = 400$ .

Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
Déterminer la limite de $(u_{n})$ et l'interpréter.
À partir de quelle semaine compte-t-on moins de $100$ cas ?
Calculer le nombre total de cas des $19$ premières semaines ( $n = 0$ à $n = 18$ ). Ce total admet-il une limite ?

Corrigé

Forme explicite : $u_{n + 1} = 0, 85 u_{n} + 12$ . La solution constante vérifie $c = 0, 85 c + 12$ , soit $c = \frac{12}{0 , 15} = 80$ . La suite $v_{n} = u_{n} - 80$ est géométrique de raison $0, 85$ avec $v_{0} = 320$ , donc

$u_{n} = 80 + 320 \times 0, 8 5^{n} .$

Limite : $0, 8 5^{n} \to 0$ donc $u_{n} \to 80$ . L'épidémie ne s'éteint pas : elle se stabilise à $80$ cas par semaine. Ce plancher est entretenu par les importations, et pour tout $n$ on a $u_{n} > 80$ , puisque $320 \times 0, 8 5^{n} > 0$ .
Seuil : $u_{17} \approx 100, 2$ et $u_{18} \approx 97, 2$ . On passe sous les $100$ cas à la 18^e semaine.
Cumul : en séparant la constante et la partie géométrique,

$k = 0 \sum 18 u_{k} = 80 \times 19 + 320 \times \frac{1 - 0 , 8 5 ^{19}}{1 - 0 , 85} \approx 1520 + 2036 = 3556 cas .$

Quand $n$ grandit, la seconde part tend vers $\frac{320}{0 , 15} \approx 2133$ , mais la première, $80 (n + 1)$ , tend vers $+ \infty$ : le total n'a pas de limite finie.

Contrairement au cumul des vagues de dépenses d'un plan de relance, il n'existe pas ici de « nombre total de cas » : tant que les importations continuent, le cumul croît indéfiniment, à peu près comme $80 n$ .