Une forme indéterminée (nappe phréatique) — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 1)

Une forme indéterminée (nappe phréatique)

Suites numériques et modèles discrets · niveau 2

Énoncé

Une forme indéterminée (nappe phréatique).

Après l'arrêt d'un épandage agricole, la concentration en nitrates d'une nappe, en mg/L, est modélisée $n$ années plus tard par

$c_{n} = \frac{6 n + 45}{n + 9} .$

Déterminer la limite de $(c_{n})$ . La concentration peut-elle dépasser $6$ mg/L ?

Corrigé

Repérer l'indétermination : le numérateur tend vers $+ \infty$ et le dénominateur aussi. On est devant la forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ : les limites séparées ne permettent pas de conclure, il faut transformer l'écriture.
Factoriser par le terme dominant : pour $n \geq 1$ ,

$c_{n} = \frac{n ( 6 + \frac{45}{n} )}{n ( 1 + \frac{9}{n} )} = \frac{6 + \frac{45}{n}}{1 + \frac{9}{n}} .$

Comme $\frac{45}{n} \to 0$ et $\frac{9}{n} \to 0$ , le quotient tend vers $\frac{6}{1} = 6$ .

Une autre écriture, plus parlante : on vérifie que $6 (n + 9) - 9 = 6 n + 45$ , donc

$c_{n} = 6 - \frac{9}{n + 9} .$

On retrouve la limite $6$ , et l'on voit de plus que le terme soustrait est strictement positif : $c_{n} < 6$ pour tout $n$ .

Contrôle numérique : $c_{0} = 5$ , $c_{10} \approx 5, 53$ , $c_{100} \approx 5, 92$ .

La concentration croît vers $6$ mg/L sans jamais l'atteindre ni le dépasser : la nappe se stabilise très en dessous de la limite de potabilité, fixée à $50$ mg/L.