Une population qui sature (modèle logistique)

Suites numériques et modèles discrets · Suites récurrentes et points fixes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une population qui sature (modèle logistique).

On modélise une population de cerfs dans une forêt par $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , avec

$f (x) = 1, 4 x - 0, 0004 x^{2} et u_{0} = 100.$

Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ (arrondis à $0, 1$ près).
Déterminer les points fixes de $f$ .
Étudier les variations de $f$ sur $[0; 1000]$ , et montrer que pour tout $x$ de $] 0; 1000 [$ , on a $x < f (x) < 1000$ . Qu'en déduit-on pour la suite ?
On admet que $(u_{n})$ converge. Quelle est sa limite ?
Écrire une fonction Python qui renvoie le premier rang $n$ tel que $u_{n} > 990$ . On trouve $16$ : le vérifier sur les valeurs $u_{15}$ et $u_{16}$ .

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.