Capacité vitale et taille (droite des points moyens)

Statistique à deux variables quantitatives · niveau 2

Énoncé

Capacité vitale et taille (droite des points moyens).

Un service de pneumologie mesure, chez six adultes, la taille (en cm) et la capacité vitale (le volume d'air maximal expiré, en litres) :

$taille x_{i} capacit e ˊ y_{i} 150 3, 0 156 3, 4 162 3, 7 168 4, 2 174 4, 6 180 5, 1$

Calculer les coordonnées du point moyen $G$ .
Déterminer la droite des points moyens $(G_{1} G_{2})$ , en coupant la série en deux moitiés de trois individus.
Vérifier que cette droite passe par $G$ .
Estimer la capacité vitale d'un adulte de $172$ cm.

Corrigé

Point moyen.

$x ˉ = \frac{150 + 156 + 162 + 168 + 174 + 180}{6} = \frac{990}{6} = 165,$

$y ˉ = \frac{3 , 0 + 3 , 4 + 3 , 7 + 4 , 2 + 4 , 6 + 5 , 1}{6} = \frac{24 , 0}{6} = 4, 0.$

Donc $G (165; 4, 0)$ .

Les deux demi-points moyens. Première moitié :

$G_{1} (\frac{150 + 156 + 162}{3}; \frac{3 , 0 + 3 , 4 + 3 , 7}{3}) = G_{1} (156; \frac{10 , 1}{3}), \frac{10 , 1}{3} \approx 3, 367.$

Seconde moitié :

$G_{2} (\frac{168 + 174 + 180}{3}; \frac{4 , 2 + 4 , 6 + 5 , 1}{3}) = G_{2} (174; \frac{13 , 9}{3}), \frac{13 , 9}{3} \approx 4, 633.$

La pente vaut

$a = \frac{\frac{13 , 9}{3} - \frac{10 , 1}{3}}{174 - 156} = \frac{\frac{3 , 8}{3}}{18} = \frac{3 , 8}{54} = \frac{19}{270} \approx 0, 0704,$

puis $b = \frac{10 , 1}{3} - \frac{19}{270} \times 156 \approx - 7, 611$ . La droite est $y \approx 0, 0704 x - 7, 611$ .

Passage par $G$ . Le milieu de $[G_{1} G_{2}]$ a pour abscisse $\frac{156 + 174}{2} = 165 = x ˉ$ et pour ordonnée $\frac{1}{2} (\frac{10 , 1}{3} + \frac{13 , 9}{3}) = \frac{24 , 0}{6} = 4, 0 = y ˉ$ : c'est exactement $G$ . La droite $(G_{1} G_{2})$ passe donc par $G$ , ce que confirme le calcul $0, 0704 \times 165 - 7, 611 \approx 4, 00$ .
Estimation. Pour $x = 172$ , $y \approx 0, 0704 \times 172 - 7, 611 \approx 4, 49$ litres.

La droite des moindres carrés, elle, vaut $y \approx 0, 0695 x - 7, 471$ et donne $4, 49$ litre également : sur un nuage bien aligné, les deux méthodes se rejoignent.