Capacité vitale et taille (droite des points moyens)

• Point moyen.

$$\bar{x}=\frac{150+156+162+168+174+180}{6}=\frac{990}{6}=165,$$

$$\bar{y}=\frac{3,0+3,4+3,7+4,2+4,6+5,1}{6}=\frac{24,0}{6}=4,0.$$

Donc $G(165;4,0)$.

• Les deux demi-points moyens. Première moitié :

$$G_1\left(\frac{150+156+162}{3};\frac{3,0+3,4+3,7}{3}\right)=G_1\left(156;\frac{10,1}{3}\right),\frac{10,1}{3}\approx 3,367.$$

Seconde moitié :

$$G_2\left(\frac{168+174+180}{3};\frac{4,2+4,6+5,1}{3}\right)=G_2\left(174;\frac{13,9}{3}\right),\frac{13,9}{3}\approx 4,633.$$

La pente vaut

$$a=\frac{\frac{13,9}{3}-\frac{10,1}{3}}{174-156}=\frac{\frac{3,8}{3}}{18}=\frac{3,8}{54}=\frac{19}{270}\approx 0,0704,$$

puis $b=\frac{10,1}{3}-\frac{19}{270}\times 156\approx -7,611$. La droite est $y\approx 0,0704x-7,611$.

• Passage par $G$. Le milieu de $[G_1{G}_2]$ a pour abscisse $\frac{156+174}{2}=165=\bar{x}$ et pour ordonnée $\frac{1}{2}\left(\frac{10,1}{3}+\frac{13,9}{3}\right)=\frac{24,0}{6}=4,0=\bar{y}$ : c'est exactement $G$. La droite $(G_1{G}_2)$ passe donc par $G$, ce que confirme le calcul $0,0704\times 165-7,611\approx 4,00$.
• Estimation. Pour $x=172$, $y\approx 0,0704\times 172-7,611\approx 4,49$ litres.

La droite des moindres carrés, elle, vaut $y\approx 0,0695x-7,471$ et donne $4,49$ litre également : sur un nuage bien aligné, les deux méthodes se rejoignent.