Densité osseuse et âge — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 10)

Densité osseuse et âge

Statistique à deux variables quantitatives · niveau 1 (application)

Énoncé

Densité osseuse et âge.

La densité minérale osseuse (DMO, en g/cm $^{2}$ ) est mesurée chez cinq femmes d'âges différents :

$a ˆ ge x_{i} DMO y_{i} 30 1, 18 40 1, 12 50 1, 03 60 0, 95 70 0, 87$

Déterminer la droite des moindres carrés et $r$ .
Estimer la DMO à $45$ ans, puis à $90$ ans et à $10$ ans. Distinguer interpolation et extrapolation.
Le seuil d'ostéoporose est fixé à $0, 65$ g/cm $^{2}$ . À quel âge le modèle le situe-t-il ? Que penser de cette réponse ?

Corrigé

Ajustement. $x ˉ = 50$ et $y ˉ = \frac{5 , 15}{5} = 1, 03$ . Avec $\sum (x_{i} - x ˉ)^{2} = 1000$ et $\sum (x_{i} - x ˉ) (y_{i} - y ˉ) = - 7, 9$ ,

$a = \frac{- 7 , 9}{1 000} = - 0, 0079, b = 1, 03 + 0, 0079 \times 50 = 1, 425.$

La droite est $y = - 0, 0079 x + 1, 425$ , et $r \approx - 0, 998$ . Les résidus valent $- 0, 008$ ; $+ 0, 011$ ; $0$ ; $- 0, 001$ ; $- 0, 002$ , de somme nulle.

Trois estimations.

$y (45) \approx 1, 070, y (90) \approx 0, 714, y (10) \approx 1, 346.$

Seule la première est une interpolation ( $45 \in [30; 70]$ ) et peut être prise au sérieux. Les deux autres sont des extrapolations, et la dernière est même absurde : à $10$ ans la densité osseuse est en pleine croissance, pas en déclin. Le mécanisme lui-même a changé.

Seuil. On résout $- 0, 0079 x + 1, 425 = 0, 65$ :

$x = \frac{1 , 425 - 0 , 65}{0 , 0079} = \frac{0 , 775}{0 , 0079} \approx 98 ans.$

Cette valeur, très en dehors de l'intervalle observé, ne doit pas être annoncée comme une prévision. Elle contredit d'ailleurs l'observation clinique : la perte s'accélère nettement après la ménopause, alors que le modèle la suppose constante.