Dose et effet, à la main

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 10 — Statistique à deux variables quantitatives

Énoncé

Dose et effet, à la main.

Un essai clinique mesure la baisse moyenne de la pression artérielle systolique (en mmHg) obtenue avec cinq doses d'un antihypertenseur (en mg) :

$dose x_{i} baisse y_{i} 54109151320162523$

$x_{i} - x ˉ y_{i} - y ˉ produit (x_{i} - x ˉ)^{2} - 10 - 9 90100 - 5 - 4 2025 0000531525101010010000225250$

D'où $a = \frac{225}{250} = 0, 9$ et $b = 13 - 0, 9 \times 15 = - 0, 5$ : la droite est $y = 0, 9 x - 0, 5$ .

Contrôles. $0, 9 \times 15 - 0, 5 = 13 = y ˉ$ : la droite passe par $G (15; 13)$ . Les valeurs prédites sont $4$ ; $8, 5$ ; $13$ ; $17, 5$ ; $22$ , donc les résidus valent

$0; + 0, 5; 0; - 1, 5; + 1,$

de somme $0 + 0, 5 + 0 - 1, 5 + 1 = 0$ .

$r = \frac{225}{250 \times 206} = \frac{225}{51 500} \approx \frac{225}{226 , 9} \approx 0, 991.$

L'alignement est excellent : sur la plage de doses testée, l'effet est proportionnel à la dose, à un décalage près.

Interprétation. La pente $a = 0, 9$ signifie qu'un milligramme de plus fait baisser la pression de $0, 9$ mmHg supplémentaire. L'ordonnée à l'origine $b = - 0, 5$ correspondrait à une dose nulle : le modèle prédit alors une hausse de $0, 5$ mmHg, ce qui n'a aucune signification pharmacologique. C'est une extrapolation ( $x = 0$ est hors de $[5; 25]$ ) et il faut la refuser : $b$ n'est ici qu'un paramètre de calage.

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.