Le débit d'un réservoir (modèle puissance)

Le débit d'un réservoir (modèle puissance).

On mesure le débit $Q$ (en L/s) d'un orifice percé au fond d'un réservoir selon la hauteur d'eau $h$ (en m) au-dessus de l'orifice (données fictives) :

$$\begin{array}{lccccc}{h}_i\text{ (m)}& 0,25& 0,5& 1& 2& 4\\ Q_i\text{ (L/s)}& 1,0& 1,4& 2,0& 2,85& 4,0\end{array}$$

On cherche un modèle $Q=A{h}^c$.

• Justifier qu'en posant $u=\ln h$ et $z=\ln Q$, on se ramène à un ajustement affine. Calculer les $u_i$ et les $z_i$ (au millième).
• Montrer que $\bar{u}=0$, et que $\bar{z}\approx 0,693$.
• La calculatrice donne $z\approx 0,503u+0,693$ avec $r\approx 0,99995$. En déduire $A$ et $c$.
• La physique (loi de Torricelli) prévoit un débit proportionnel à $\sqrt{h}$. Les mesures la confirment-elles ?
• Estimer le débit pour une hauteur de $9$ m. De quel type de prévision s'agit-il ?