Prix et demande

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 10 — Statistique à deux variables quantitatives

Énoncé

Prix et demande.

Un producteur teste cinq prix de vente $p$ (en euros) et relève la quantité $q$ vendue par mois (en milliers d'unités) :

$prix p_{i} demande q_{i} 290373460546631$

Déterminer la droite des moindres carrés de $q$ en $p$ et calculer $r$ .
Interpréter la pente.
La recette mensuelle est $R (p) = p q (p)$ . Déterminer le prix qui la maximise, et la recette correspondante.
À quel prix le modèle annonce-t-il une demande nulle ? Que vaut cette prévision ?

Corrigé

Ajustement. $p ˉ = 4$ et $q ˉ = \frac{300}{5} = 60$ . Avec $\sum (p_{i} - p ˉ)^{2} = 10$ et $\sum (p_{i} - p ˉ) (q_{i} - q ˉ) = - 145$ ,

$a = \frac{- 145}{10} = - 14, 5, b = 60 + 14, 5 \times 4 = 118.$

La droite est $q = - 14, 5 p + 118$ . Comme $\sum (q_{i} - q ˉ)^{2} = 2106$ ,

$r = \frac{- 145}{10 \times 2 106} = \frac{- 145}{21 060} \approx - 0, 9992.$

Les résidus valent $+ 1$ ; $- 1, 5$ ; $0$ ; $+ 0, 5$ ; $0$ , de somme nulle.

Pente. Un euro de plus fait perdre $14, 5$ milliers d'unités vendues, soit $14500$ unités par mois.
Recette. En milliers d'euros,

$R (p) = p (118 - 14, 5 p) = - 14, 5 p^{2} + 118 p .$

C'est un trinôme de coefficient dominant négatif : il atteint son maximum en

$p = \frac{- 118}{2 \times ( - 14 , 5 )} = \frac{118}{29} \approx 4, 07 euros,$

pour une recette $R \approx 240, 1$ milliers d'euros, soit environ $240000$ euros par mois. Le prix optimal est donc très proche du prix moyen déjà pratiqué.

Demande nulle. $- 14, 5 p + 118 = 0$ donne $p = \frac{118}{14 , 5} \approx 8, 14$ euros. C'est une extrapolation à plus de deux euros au-delà du prix le plus élevé testé ; et le modèle affine devient ensuite franchement faux, puisqu'il prédit une demande négative au-delà. En pratique une demande ne s'annule presque jamais brutalement : elle décroît lentement vers zéro.

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