Problème — Dose et réponse, en pharmacologie

• Pourquoi refuser. Les résidus sont d'abord franchement négatifs, puis franchement positifs, puis négatifs de nouveau : ils changent de signe de façon ordonnée, ce qui est la signature d'une courbure. De plus ils sont énormes — jusqu'à $19$ points de pourcentage sur une échelle qui va de $6$ à $80$. Le $r\approx 0,862$ ne rachète pas cela : il indique seulement qu'une droite fait mieux que rien.
• Le changement de variable. Les doses forment une suite géométrique de raison $2$. Ce qui est régulier, ce ne sont pas les différences de doses mais leurs rapports : on pose donc $u=\ln d$.

$$\begin{array}{lccccccc}d& 0,5& 1& 2& 4& 8& 16& 32\\ u=\ln d& -0,693& 0& 0,693& 1,386& 2,079& 2,773& 3,466\\ y& 6& 15& 28& 44& 58& 71& 80\end{array}$$

Les abscisses sont maintenant régulièrement espacées (de $\ln 2$), et les ordonnées croissent de façon presque régulière : le nuage s'est redressé.

• Dose efficace 50. On cherche $d$ tel que $y=50$ :

$$18,755u+17,143=50⟺u=\frac{50-17,143}{18,755}\approx 1,752,$$

donc

$$d=e^{1,752}\approx 5,8\text{ mg.}$$

Cette valeur est intérieure à l'intervalle des doses testées $[0,5;32]$ : c'est une interpolation, elle est légitime. Au passage, la pente s'interprète : doubler la dose fait gagner $18,755\times \ln 2\approx 13$ points de réponse.

• Une prévision impossible. Pour $d=128$, $u=\ln 128\approx 4,852$ et

$$y\approx 18,755\times 4,852+17,143\approx 108,1\%.$$

Un pourcentage supérieur à $100$ est impossible : le modèle a quitté son domaine de validité. C'est le deuxième réflexe de la section sec:mc10interp — le résultat est-il possible ?

• La vraie forme. La réponse réelle est bornée par $0$ et $100$ : la courbe part de $0$, monte, puis sature. Elle a la forme d'un S — c'est la courbe dose-réponse sigmoïde des pharmacologues. Notre modèle logarithmique en décrit correctement la partie centrale, autour de la dose efficace 50, et seulement elle.