Problème — La croissance d'un enfant, et où la droite cesse d'être vraie

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 10 — Statistique à deux variables quantitatives

Énoncé

Problème — La croissance d'un enfant, et où la droite cesse d'être vraie.

Le pédiatre poursuit ses relevés jusqu'à la fin de l'adolescence. Voici la série complète (valeurs proches des courbes de référence de l'OMS pour un garçon, arrondies au centimètre) :

$a ˆ ge x_{i} taille y_{i} 2884103611681291013912150141641617318176$

Sur la seule période $[2; 10]$ ans, on a trouvé $y = 6, 4 x + 76, 6$ avec $r \approx 0, 998$ . Quelles tailles ce modèle prédit-il à $12$ , $14$ , $16$ et $18$ ans ? Comparer aux mesures.
Ajuster maintenant la série entière. On obtient $y \approx 5, 658 x + 80, 97$ et $r \approx 0, 994$ . Calculer les résidus et décrire leur allure.
Que révèle cette allure ? Le coefficient $r \approx 0, 994$ est-il un gage de validité ?
Ajuster séparément $[2; 10]$ et $[12; 18]$ , comparer les deux pentes et interpréter.
Un enfant de $11$ ans mesure $145$ cm. Le modèle sur $[2; 10]$ est-il utilisable ? Et pour un adulte de $25$ ans ?

Corrigé

Prolonger la droite des petits. On calcule $6, 4 x + 76, 6$ :

$a ˆ ge mod e ˋ le mesure e ˊ cart 12 153, 4 150 + 3, 4 14 166, 2 164 + 2, 2 16 179, 0 173 + 6, 0 18 191, 8 176 + 15, 8$

L'erreur reste modeste tant qu'on s'éloigne peu, puis explose : à $18$ ans, le modèle se trompe de $16$ cm.

Résidus de l'ajustement global. Avec $y^= 5, 658 x + 80, 97$ :

$x_{i} e_{i} 2 - 4, 3 4 - 0, 6 6 + 1, 1 8 + 2, 8 10 + 1, 4 12 + 1, 1 14 + 3, 8 16 + 1, 5 18 - 6, 8$

(Leur somme vaut bien $0$ , aux arrondis près.) Ils ne sont pas répartis au hasard : négatifs aux deux extrémités, positifs au milieu.

Ce que dit cette forme. Une telle structure en cloche signale que le nuage est courbé : la droite passe sous les points au centre et au-dessus aux bords. Le coefficient $r \approx 0, 994$ , très proche de $1$ , ne l'a pas détecté — il mesure la dispersion, pas la forme. C'est exactement la leçon du jeu II d'Anscombe : on regarde toujours les résidus.
Deux régimes. Sur $[2; 10]$ , $a = 6, 4$ cm par an ; sur $[12; 18]$ , on trouve

$a = \frac{87}{20} = 4, 35 cm par an, b = 100, 5, r \approx 0, 962.$

La croissance de l'enfance est nettement plus rapide, en moyenne, que celle de la fin de l'adolescence — période où le pic pubertaire est déjà passé et où les cartilages de conjugaison se soudent. Un seul modèle affine ne peut pas décrire les deux à la fois.

Deux prévisions. Pour un enfant de $11$ ans, on extrapole d'un an au-delà des données : le modèle donne $6, 4 \times 11 + 76, 6 = 147, 0$ cm, à comparer aux $145$ cm mesurés — l'écart de $2$ cm est acceptable pour un usage de dépistage. Pour un adulte de $25$ ans, le modèle annonce $6, 4 \times 25 + 76, 6 = 236, 6$ cm : la prévision est absurde, car le mécanisme lui-même a disparu — un adulte ne grandit plus.

Une extrapolation courte, dans un régime inchangé, est un risque mesuré ; une extrapolation longue, à travers un changement de régime, est une erreur.

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