Problème — Revenu et espérance de vie — la courbe de Preston

• Le modèle affine échoue. Avec $r\approx 0,799$, une droite « marche » au sens où elle capte la tendance générale — mais elle impose que $1000$ dollars de plus produisent le même gain d'espérance de vie au Burundi et aux États-Unis. Or le nuage montre exactement le contraire : très pentu chez les pays pauvres, quasiment plat chez les pays riches. C'est la courbe de Preston, l'une des relations les mieux établies de la démographie.
• Ajustement logarithmique. La pente $5,034$ s'interprète ainsi : lorsque $\ln R$ augmente de $1$ — c'est-à-dire lorsque le revenu est multiplié par $e\approx 2,72$ — l'espérance de vie gagne environ $5$ ans. Ce qui compte n'est donc pas le supplément de revenu, mais son facteur multiplicatif.
• Doubler le revenu. Le gain vaut

$$5,034\times \ln 2\approx 3,5\text{ ans.}$$

Ce nombre ne dépend pas du niveau de départ : passer de $1000$ à $2000$ dollars, ou de $30000$ à $60000$, rapporte les mêmes $3,5$ ans selon le modèle. C'est bien sûr le modèle qui le dit, et l'observation suggère que le gain est encore plus faible en haut de l'échelle.

• Deux estimations.

$$E(10000)\approx 5,034\times \ln (10000)+26,59\approx 73,0\text{ ans,}$$

valeur intérieure à l'intervalle des revenus observés : interpolation légitime.

$$E(200000)\approx 5,034\times \ln (200000)+26,59\approx 88,0\text{ ans,}$$

pour un revenu trois fois supérieur au plus riche des pays de l'échantillon. Aucune donnée ne soutient cette valeur, et rien ne dit que la relation ne sature pas complètement au-delà d'un certain seuil.

• Deux résidus parlants.

$$e_{\text{USA}}=78,9-(5,034\times \ln 63400+26,59)\approx -3,4\text{ ans,}$$

$$e_{\text{Portugal}}=81,9-(5,034\times \ln 34900+26,59)\approx +2,6\text{ ans.}$$

Les États-Unis vivent $3,4$ ans de moins que ne le laisse attendre leur richesse, le Portugal $2,6$ ans de plus, alors que le Portugal est presque deux fois moins riche. Le revenu n'explique donc pas tout : le système de santé, les inégalités internes, l'alimentation ou la violence armée entrent en jeu. Les résidus, ici, sont plus instructifs que la droite.