Scolarisation des filles et fécondité — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 10)

Scolarisation des filles et fécondité

Statistique à deux variables quantitatives · niveau 1 (application)

Énoncé

Scolarisation des filles et fécondité.

Dans huit pays, on relève le taux de scolarisation des filles dans le secondaire (en %) et l'indice de fécondité (nombre moyen d'enfants par femme). Les données sont fictives, mais d'allure réaliste.

$scolarisation x_{i} f e ˊ condit e ˊ y_{i} 20 6, 8 30 6, 0 40 5, 1 50 4, 0 60 3, 4 70 2, 6 85 2, 0 95 1, 7$

Calculer $x ˉ$ , $y ˉ$ , puis $cov (x, y)$ .
En déduire $r$ et commenter son signe.
Déterminer la droite des moindres carrés et estimer la fécondité d'un pays dont le taux serait de $75 %$ .
Peut-on conclure que scolariser les filles fait baisser la fécondité ?

Corrigé

Moyennes et covariance. $x ˉ = \frac{450}{8} = 56, 25$ et $y ˉ = \frac{31 , 6}{8} = 3, 95$ . La calculatrice donne

$\sum (x_{i} - x ˉ) (y_{i} - y ˉ) = - 340, donc cov (x, y) = \frac{- 340}{8} = - 42, 5.$

Coefficient. On a aussi $\sum (x_{i} - x ˉ)^{2} = 4837, 5$ et $\sum (y_{i} - y ˉ)^{2} = 24, 64$ , d'où

$r = \frac{- 340}{4 837 , 5 \times 24 , 64} \approx \frac{- 340}{69 , 55 \times 4 , 96} \approx - 0, 985.$

Le signe est négatif : quand l'une des deux grandeurs augmente, l'autre diminue. La valeur absolue, très proche de $1$ , indique un nuage presque rectiligne.

Droite et estimation.

$a = \frac{- 340}{4 837 , 5} \approx - 0, 0703, b = 3, 95 + 0, 0703 \times 56, 25 \approx 7, 90.$

Pour $x = 75$ (valeur intérieure à $[20; 95]$ , donc interpolation) : $y \approx - 0, 0703 \times 75 + 7, 90 \approx 2, 6$ enfants par femme.

Causalité. Non. La corrélation est forte, mais le développement d'un pays — revenu, urbanisation, accès à la santé, statut des femmes — agit à la fois sur la scolarisation et sur la fécondité : c'est une variable de confusion massive. Les travaux de démographie soutiennent qu'il existe aussi un effet propre de la scolarisation, mais cela se démontre autrement que par ce nuage.