Superficie d'une île et nombre d'espèces

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 10 — Statistique à deux variables quantitatives

Énoncé

Superficie d'une île et nombre d'espèces.

Les biogéographes ont observé que le nombre $S$ d'espèces d'une île croît comme une puissance de sa superficie $A$ : $S = c A^{z}$ (loi d'aire-espèces). Voici les données classiques de la herpétofaune — reptiles et amphibiens — des Antilles, telles que les rapportent MacArthur et Wilson (The Theory of Island Biogeography,

$ı ˆ le A (km^{2}) S Redonda 33 Saba 135 Montserrat 1029 Porto Rico 889640 Jama ı ¨ que 1099139 Hispaniola 7619284 Cuba 110860100$

Quel double changement de variable ramène le modèle à un ajustement affine ?
L'ajustement (en logarithmes décimaux) donne $lo g S = 0, 3275 lo g A + 0, 3145$ avec $r \approx 0, 999$ . En déduire $c$ et $z$ .
Estimer le nombre d'espèces d'une île de $5000$ km $^{2}$ .
Une réserve perd $90 %$ de sa surface. Quelle proportion de ses espèces le modèle prédit-il de conserver ?

Corrigé

Changement de variable. On prend le logarithme des deux variables. De $S = c A^{z}$ on tire

$lo g S = lo g c + z lo g A,$

qui est affine en $lo g A$ : la pente est l'exposant $z$ , l'ordonnée à l'origine est $lo g c$ .

Paramètres. La pente donne $z \approx 0, 3275$ et

$c = 1 0^{0, 3145} \approx 2, 06.$

Le modèle est $S \approx 2, 06 A^{0, 3275}$ . La valeur $z \approx 0, 33$ est la valeur classique de la littérature écologique, comprise entre $0, 20$ et $0, 35$ pour les îles.

Estimation. Pour $A = 5000$ km $^{2}$ (valeur intérieure à l'intervalle des superficies observées) :

$S \approx 2, 06 \times 500 0^{0, 3275} \approx 34 esp e ˋ ces.$

Perte de surface. Si la surface est divisée par $10$ , le nombre d'espèces est multiplié par

$(\frac{1}{10})^{0, 3275} = 1 0^{- 0, 3275} \approx 0, 47.$

Il en reste donc environ $47 %$ : le modèle prédit la disparition de plus de la moitié des espèces.

Ce calcul, très simple, est l'un des arguments quantitatifs de la biologie de la conservation en faveur des grandes réserves.

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