Un point aberrant change tout

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 10 — Statistique à deux variables quantitatives

Énoncé

Un point aberrant change tout.

En anthropologie médico-légale, on estime la taille d'un individu à partir de la longueur de son fémur. Voici huit relevés :

$f e ˊ mur x_{i} (cm) taille y_{i} (cm) 39, 5 155 41, 2 161 43, 0 165 44, 6 172 45, 8 175 47, 1 178 48, 9 186 50, 3 190$

L'ajustement donne $y \approx 3, 231 x + 27, 19$ et $r \approx 0, 998$ . Estimer la taille correspondant à un fémur de $46$ cm.
Un opérateur saisit $75$ au lieu de $175$ pour le cinquième individu. L'ajustement devient $y \approx 2, 459 x + 49, 46$ et $r \approx 0, 251$ . Recalculer l'estimation précédente.
Comment repérer cette erreur sans connaître la bonne valeur ?

Corrigé

Estimation correcte.

$y \approx 3, 231 \times 46 + 27, 19 \approx 175, 8 cm.$

Le coefficient $3, 231$ se lit : un centimètre de fémur en plus correspond à $3, 2$ cm de taille en plus, ce qui est l'ordre de grandeur des tables d'anthropométrie.

Estimation faussée.

$y \approx 2, 459 \times 46 + 49, 46 \approx 162, 6 cm,$

soit une erreur de $13$ cm. Une seule valeur sur huit a suffi.

Détection. Trois signaux, dans l'ordre où on les rencontre.

Le nuage : le point $(45, 8; 75)$ est visuellement isolé, très loin de tous les autres.
Le coefficient : $r$ chute de $0, 998$ à $0, 251$ alors que rien, dans le protocole, n'a changé. Un effondrement pareil signale une donnée, pas un phénomène.
Les résidus : celui du cinquième individu vaut environ $- 87$ cm, quand tous les autres sont compris entre $+ 8$ et $+ 17$ . Un résidu qui écrase tous les autres est presque toujours une erreur de saisie.

On ne supprime jamais un point parce qu'il dérange ; on retourne à la source pour vérifier la mesure. Ici, la taille $75$ cm pour un fémur de $45, 8$ cm est anatomiquement impossible : le fémur ferait $61 %$ de la taille totale.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.