Deux modèles, une même plage

Deux modèles, une même plage. On mesure le supplément de rendement $y$ d'un champ de blé, en quintaux par hectare, selon la dose d'engrais $x$, en dizaines de kilogrammes par hectare.

$$\begin{array}{lcccccc}x& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ y& 10,2& 23,6& 32,1& 37,5& 42,4& 45,7\end{array}$$

Deux élèves ajustent chacun un modèle.

• Le premier ajuste $y$ en fonction de $w=\ln x$ et obtient $y=19,93w+10,07$, avec $r=0,99987$.
• Le second ajuste $\ln y$ en fonction de $\ln x$ et obtient $\ln y=0,8265\ln x+2,4514$, avec $r=0,9801$.

• Écrire chacun des deux modèles sous forme explicite, avec des paramètres arrondis : $f(x)=10+20\ln x$ et $g(x)=11,6x^{0,83}$. Justifier $11,6$.
• Les deux coefficients de corrélation sont élevés. Calculer les écarts $y-g(x)$ aux six mesures. Que révèle leur suite de signes ?
• Comparer les prévisions des deux modèles pour $x=3,5$, puis pour $x=30$.
• Les deux modèles sont croissants et concaves. Sont-ils pour autant acceptables au-delà de la plage mesurée ? Quelle propriété l'agronomie imposerait-elle ?