Quand remplacer une machine ?

Quand remplacer une machine ? Une entreprise achète une machine $12000$ euros. Les frais d'entretien cumulés au bout de $t$ années d'utilisation sont estimés à $300t^2$ euros. Le coût total de la machine gardée $t$ années est donc $C(t)=12000+300t^2$, et son coût moyen annuel est $M(t)=\frac{C(t)}{t}$ pour $t>0$.

• Pourquoi $M$ est-il le bon critère, plutôt que $C$ ?
• Étudier les variations de $M$ sur $]0;+\infty [$. Au bout de combien d'années faut-il remplacer la machine ? Donner le coût moyen minimal en valeur exacte.
• Vérifier qu'à l'optimum, le coût moyen égale le coût marginal $C^{\prime }(t)$. Quel résultat du cours retrouve-t-on ?
• La machine ne peut être remplacée qu'en fin d'année. Quel nombre entier d'années choisir ?