Quel changement de variable ? — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 11)

Quel changement de variable ?

Thème 1 — Modèles définis par une fonction d'une variable · niveau 1 (application)

Énoncé

Quel changement de variable ?

Pour chacune des trois situations, dire quelle transformation rend le nuage rectiligne, écrire la relation affine obtenue, puis retrouver les paramètres du modèle à partir de la droite des moindres carrés fournie.

Biologie. Une culture bactérienne suit $N = A e^{λ t}$ ( $N$ bactéries au temps $t$ , en heures). Droite obtenue : $z = 0, 42 t + 4, 61$ .
Géosciences. Le nombre $S$ d'espèces d'une île suit $S = A a^{c}$ , où $a$ est sa superficie en km $^{2}$ . Droite obtenue : $z = 0, 25 w + 1, 79$ .
Économie. Le coût moyen unitaire d'un atelier suit $C = \frac{f}{q} + g$ , où $q$ est le nombre d'unités produites. Droite obtenue : $C = 3200 x + 12$ .

Corrigé

Modèle exponentiel. On pose $z = ln N$ . Alors $z = ln A + λ t$ , affine en $t$ . La pente donne $λ = 0, 42$ par heure et l'ordonnée à l'origine donne $A = e^{4, 61} \approx 100, 5$ , soit une centaine de bactéries au départ.
Modèle puissance. Il faut transformer les deux variables : $z = ln S$ et $w = ln a$ . Alors

$z = ln A + c ln a = ln A + c w .$

La pente est directement l'exposant, $c = 0, 25$ , et $A = e^{1, 79} \approx 5, 99$ , soit $S \approx 6 a^{0, 25}$ : multiplier la superficie par $16$ ne multiplie le nombre d'espèces que par $1 6^{0, 25} = 2$ .

Modèle inverse. On pose $x = \frac{1}{q}$ ; alors $C = f x + g$ , affine en $x$ . La pente donne les frais fixes $f = 3200$ euros et l'ordonnée à l'origine le coût variable unitaire $g = 12$ euros.

Dans les trois cas la démarche est la même : transformer, ajuster, revenir. Seul le troisième ne touche pas à $y$ — c'est la variable explicative qu'on transforme.