Un thé qui refroidit

Un thé qui refroidit. Une tasse de thé est posée dans une pièce à $20{}^{\circ }\mathrm{C}$. On relève sa température $T$, en degrés Celsius, au cours du temps $t$, en minutes.

$$\begin{array}{lcccccc}t(\text{min})& 0& 5& 10& 15& 20& 30\\ T({}^{\circ }\text{C})& 90,0& 67,1& 51,3& 41,2& 34,0& 26,4\end{array}$$

La loi de Newton suggère le modèle $T(t)=20+A{e}^{-kt}$, avec $A>0$ et $k>0$.

• Pourquoi le changement de variable $z=\ln T$ ne convient-il pas ? Lequel redresse le nuage ? Écrire la relation affine obtenue.
• Pour ce changement de variable, on obtient $\bar{t}=13,333$, $\bar{z}=3,1823$, $\mathrm{cov}(t,z)=-7,7676$ et $V(t)=97,222$. Donner la droite des moindres carrés, puis un modèle aux paramètres arrondis ($A$ à l'unité, $k$ au centième).
• Étudier les variations, la convexité et la limite du modèle.
• Au bout de combien de temps le thé est-il à $50{}^{\circ }\mathrm{C}$ ? Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée.