Une colonie qui plafonne

Une colonie qui plafonne. Une colonie de levures croît dans un milieu dont on sait, par une expérience antérieure, qu'il ne peut pas en nourrir plus de $K = 1000$ (en millions de cellules). On mesure l'effectif $y$ au jour $t$ .

$t (jours) y 02026441836430871210893$

On propose le modèle logistique $y (t) = \frac{1 000}{1 + A e ^{- r t}}$ , avec $A > 0$ et $r > 0$ .

Montrer que $z = ln (\frac{1 000}{y} - 1)$ est une fonction affine de $t$ , dont on précisera la pente et l'ordonnée à l'origine.
Pour ce changement de variable, $t ˉ = 5$ , $z ˉ = 0, 8876$ , $cov (t, z) = - 7, 0076$ et $V (t) = 11, 667$ . En déduire $A$ (à l'unité) et $r$ (au dixième).
On pose $u (t) = A e^{- r t}$ . Montrer que $y^{'} (t) = \frac{1 000 r u ( t )}{( 1 + u ( t ) ) ^{2}}$ , et on admet que $y^{''} (t) = \frac{1 000 r ^{2} u ( t ) ( u ( t ) - 1 )}{( 1 + u ( t ) ) ^{3}}$ . Étudier les variations, la convexité et les limites de $y$ .
Préciser le point d'inflexion : date, effectif, vitesse de croissance.
Quand la colonie atteint-elle $900$ millions de cellules ?

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