Une réponse en S

Une réponse en S

Thème 1 — Modèles définis par une fonction d'une variable · Étudier et optimiser le modèle · niveau 2

Énoncé

Une réponse en S. La réponse d'un tissu à une hormone, en pourcentage d'activité, est modélisée en fonction de la dose $x$ (en nanogrammes) par

$R (x) = \frac{80 x ^{2}}{100 + x ^{2}}, x \geq 0.$

Déterminer $R (0)$ et la limite de $R$ en $+ \infty$ . Interpréter.
Montrer que $R^{'} (x) = \frac{16 000 x}{( 100 + x ^{2} ) ^{2}}$ et en déduire les variations de $R$ .
On admet que $R^{''} (x) = \frac{16 000 ( 100 - 3 x ^{2} )}{( 100 + x ^{2} ) ^{3}}$ . Étudier la convexité de $R$ et préciser le point d'inflexion. Que représente-t-il ?
Pour quelles doses obtient-on la moitié, puis $90 %$ , de la réponse maximale ? Comparer avec le modèle de Michaelis et Menten du cours.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.