Doses répétées ou perfusion, le même plateau ?

Thème 2 — Modèles d'évolution · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Doses répétées ou perfusion, le même plateau ?

Un antalgique s'élimine avec le coefficient $k = 0, 2$ par heure. Deux protocoles sont envisagés :

A : $180$ mg toutes les $6$ heures ;
B : une perfusion de $30$ mg par heure.

Vérifier que les deux délivrent la même dose journalière.
Pour A, écrire la relation de récurrence, puis calculer le pic, le creux et l'amplitude du régime stationnaire.
Pour B, donner le plateau.
Calculer la valeur moyenne de la dent de scie sur une période et l'interpréter.
Au bout de combien de temps chaque protocole atteint-il $95 %$ de sa valeur limite ?

Corrigé

Même dose. A : $4$ prises de $180$ mg, soit $720$ mg par jour ; B : $24 \times 30 = 720$ mg par jour.
Le protocole discret. Entre deux prises la quantité est multipliée par $q = e^{- 0, 2 \times 6} = e^{- 1, 2} \approx 0, 3012$ , puis on ajoute $180$ :

$u_{n + 1} = e^{- 1, 2} u_{n} + 180.$

Le point fixe est

$c = \frac{180}{1 - e ^{- 1, 2}} \approx 257, 6 mg (le pic), q c \approx 77, 6 mg (le creux),$

et l'amplitude $c - q c = c (1 - q) = 180$ mg, exactement la dose.

Le protocole continu. $y^{'} = - 0, 2 y + 30$ a pour solution constante $\frac{30}{0 , 2} = 150$ mg : c'est le plateau.
La moyenne. Sur une période, $u (t) = c e^{- 0, 2 t}$ et

$\frac{1}{6} \int_{0}^{6} c e^{- 0, 2 t} d t = \frac{c}{6} \times \frac{1 - e ^{- 1, 2}}{0 , 2} = \frac{180}{6 \times 0 , 2} = 150 mg.$

C'est exactement le plateau de la perfusion : le protocole A fait osciller la concentration entre $78$ et $258$ mg autour de la valeur où B la maintient.

L'installation. Pour B, $y (t) = 150 (1 - e^{- 0, 2 t})$ vaut $95 %$ de $150$ quand $e^{- 0, 2 t} = 0, 05$ , soit $t = \frac{l n 20}{0 , 2} \approx 15, 0$ h.

Pour A, on remarque que $u_{0} = 180 = c (1 - q)$ , donc $c - u_{0} = c q$ et

$u_{n} = c (1 - q^{n + 1}) .$

La condition $q^{n + 1} \leq 0, 05$ s'écrit $n + 1 \geq \frac{l n 20}{1 , 2} \approx 2, 50$ , donc $n = 2$ : la troisième prise, à $t = 12$ h, avec $u_{2} \approx 250, 5$ mg, soit $97, 3 %$ du pic.

Les deux protocoles s'installent en une quinzaine d'heures — c'est-à-dire en quelques demi-vies, $\frac{l n 2}{0 , 2} \approx 3, 5$ h. Ce délai ne dépend que de $k$ .