Doses répétées ou perfusion, le même plateau ?

• Même dose. A : $4$ prises de $180$ mg, soit $720$ mg par jour ; B : $24\times 30=720$ mg par jour.
• Le protocole discret. Entre deux prises la quantité est multipliée par $q=e^{-0,2\times 6}=e^{-1,2}\approx 0,3012$, puis on ajoute $180$ :

$$u_{n+1}=e^{-1,2}{u}_n+180.$$

Le point fixe est

$$c=\frac{180}{1-e^{-1,2}}\approx 257,6\text{ mg (le pic),}qc\approx 77,6\text{ mg (le creux),}$$

et l'amplitude $c-qc=c(1-q)=180$ mg, exactement la dose.

• Le protocole continu. $y^{\prime }=-0,2y+30$ a pour solution constante $\frac{30}{0,2}=150$ mg : c'est le plateau.
• La moyenne. Sur une période, $u(t)=c{e}^{-0,2t}$ et

$$\frac{1}{6}{\int }_0^{6}c{e}^{-0,2t}\mathrm{d}t=\frac{c}{6}\times \frac{1-e^{-1,2}}{0,2}=\frac{180}{6\times 0,2}=150\text{ mg.}$$

C'est exactement le plateau de la perfusion : le protocole A fait osciller la concentration entre $78$ et $258$ mg autour de la valeur où B la maintient.

• L'installation. Pour B, $y(t)=150\left(1-e^{-0,2t}\right)$ vaut $95\%$ de $150$ quand $e^{-0,2t}=0,05$, soit $t=\frac{\ln 20}{0,2}\approx 15,0$ h.

Pour A, on remarque que $u_0=180=c(1-q)$, donc $c-u_0=cq$ et

$$u_n=c\left(1-q^{n+1}\right).$$

La condition $q^{n+1}\le 0,05$ s'écrit $n+1\ge \frac{\ln 20}{1,2}\approx 2,50$, donc $n=2$ : la troisième prise, à $t=12$ h, avec $u_2\approx 250,5$ mg, soit $97,3\%$ du pic.

Les deux protocoles s'installent en une quinzaine d'heures — c'est-à-dire en quelques demi-vies, $\frac{\ln 2}{0,2}\approx 3,5$ h. Ce délai ne dépend que de $k$.