Pêcher une fois par an, ou toute l'année ?

Pêcher une fois par an, ou toute l'année ? Un stock de poissons de $5000$ tonnes croît naturellement de $10\%$ par an. On prélève $H$ tonnes par an.

• Modèle discret : la croissance a lieu, puis on pêche $H$ tonnes en fin d'année : $u_{n+1}=1,1u_n-H$, $u_0=5000$. Calculer le point fixe, puis exprimer $u_n$.
• Décrire l'évolution pour $H=480$, $H=500$ et $H=520$. Dans le dernier cas, quelle année le stock est-il épuisé ?
• Modèle continu : la pêche est étalée sur l'année, $y^{\prime }=ry-H$ avec $r=\ln 1,1$. Pourquoi ce choix de $r$ ? Quel est le plus grand prélèvement annuel qui ne fait pas baisser le stock ?
• Avec $H=500$, que devient le stock dans le modèle continu, et en combien de temps ? Expliquer l'écart entre les deux modèles.