Placer un capital, une fois par an ou à chaque instant

• Annuel. $C_{n+1}=1,06C_n$, donc $C_n=10000\times 1,06^n$ et $C_{10}=10000\times 1,06^{10}\approx 17908,48$ €.
• Mensuel. Chaque mois le capital est multiplié par $1,005$, donc après dix ans, soit $120$ mois, $10000\times 1,005^{120}\approx 18193,97$ €. Le facteur annuel est $1,005^{12}\approx 1,061678$.
• Continu. $C(t)=10000e^{0,06t}$ (chapitre 6), donc $C(10)=10000e^{0,6}\approx 18221,19$ €.
• Le facteur annuel. Pour tout $t$,

$$\frac{C(t+1)}{C(t)}=\frac{e^{0,06(t+1)}}{e^{0,06t}}=e^{0,06}\approx 1,061837.$$

Les trois facteurs annuels se rangent : $1,0600<1,061678<1,061837$. Le facteur monte quand la capitalisation se resserre, mais il est majoré par $e^{0,06}$ : le continu est la limite du discret, pas un régime différent. Le taux annuel effectif de la capitalisation continue est donc $6,18\%$, et non $6\%$.

• Le taux instantané équivalent. On cherche $\lambda$ tel que $e^{\lambda }=1,06$, d'où $\lambda =\ln 1,06\approx 0,0583$, soit $5,83\%$. Temps de doublement :

$$\text{continu aˋ }6\%:t=\frac{\ln 2}{0,06}\approx 11,55\text{ ans};\text{annuel aˋ }6\%:n\ge \frac{\ln 2}{\ln 1,06}\approx 11,90.$$

Comme $n$ est entier, le capital n'a doublé qu'au douzième versement : $1,06^{11}\approx 1,898$ et $1,06^{12}\approx 2,012$.

La « règle des 70 » du chapitre 5 donne $\frac{70}{6}\approx 11,7$ ans : elle tombe entre les deux, ce qui est exactement ce qu'on lui demande.