Problème — Choisir un protocole d'antibiothérapie

• Demi-vie. $e^{-0,1t}=\frac{1}{2}$ donne $t=10\ln 2\approx 6,93$ heures. Le coefficient $k$ n'est pas un pourcentage horaire : c'est le taux instantané d'élimination. En une heure il ne disparaît pas $10\%$ mais $1-e^{-0,1}\approx 9,52\%$.

• Protocole A. Sur $8$ heures, la quantité est multipliée par $q=e^{-0,8}\approx 0,4493$, puis on injecte $400$ :

$$u_{n+1}=0,4493u_n+400.$$

Le point fixe, c'est-à-dire le pic du régime stationnaire, vaut

$$c=\frac{400}{1-e^{-0,8}}\approx 726,4\text{ mg},\text{et le creux}qc\approx 326,4\text{ mg.}$$

Or $726,4>700$ et $326,4<350$ : le protocole A est à la fois toxique après chaque injection et inefficace avant la suivante, et cela chaque jour. Il est à écarter.

• Protocole B. Sur $4$ heures, $q=e^{-0,4}\approx 0,6703$ et

$$c=\frac{200}{1-e^{-0,4}}\approx 606,6\text{ mg},qc\approx 406,6\text{ mg.}$$

Les deux valeurs sont dans $[350;700]$ : le protocole convient. L'amplitude a été divisée par deux avec la dose, conformément à la propriété du paragraphe 2.

Montée vers le régime stationnaire : comme $u_0=200=c(1-q)$, on a $c-u_0=cq$ et $u_n=c\left(1-q^{n+1}\right)$. Le creux qui suit la prise de rang $n$ vaut $q{u}_n$, et

$$qc\left(1-q^{n+1}\right)\ge 350⟺1-q^{n+1}\ge \frac{350}{406,6}⟺q^{n+1}\le 0,1392.$$

En passant au logarithme, $0,4(n+1)\ge \ln \frac{1}{0,1392}\approx 1,97$, donc $n+1\ge 4,93$ et $n=4$ : c'est la cinquième prise, celle de $t=16$ h, qui installe définitivement le patient dans la fenêtre. On vérifie : $u_4\approx 524,5$ mg et le creux suivant $\approx 351,6$ mg.

• Protocole C. $y^{\prime }=-0,1y+50$ a pour plateau $\frac{50}{0,1}=500$ mg, et, partant de $y(0)=0$,

$$y(t)=500\left(1-e^{-0,1t}\right).$$

La fenêtre est atteinte quand $y(t)=350$, soit $e^{-0,1t}=0,3$ :

$$t=10\ln \frac{10}{3}\approx 12,0\text{ heures.}$$

Et $90\%$ du plateau demande $e^{-0,1t}=0,1$, soit $t=10\ln 10\approx 23,0$ heures : presque une journée pour que la perfusion seule s'installe.

Pour démarrer plus vite, on injecte d'emblée une dose de charge de $500$ mg, puis on perfuse : la fonction constante $y=500$ est solution de l'équation, donc la concentration ne bouge plus. Le patient est dans la fenêtre dès la première minute.

• La même exposition. D'après le théorème du paragraphe 2, la valeur moyenne de la dent de scie sur une période vaut $\frac{D}{k}$ dans les deux protocoles discrets, avec ici $D=\frac{1200}{24}=50$ mg/h, soit $500$ mg. Le protocole C est constamment à $500$ mg. Donc, sur $24$ heures de régime stationnaire,

$${\int }_0^{24}y(t)\mathrm{d}t=24\times 500=12000\text{ mg}\cdot \text{h}$$

pour les trois protocoles. Même dose journalière, même exposition totale — et trois trajectoires complètement différentes.

• Le conseil. Le protocole A est inutilisable malgré une dose journalière correcte : c'est l'amplitude, non la moyenne, qui décide. Le protocole B est le compromis praticable en ville : six prises par jour, entièrement dans la fenêtre. Le protocole C est le meilleur — concentration constante, aucun pic — mais il suppose l'hôpital, et il exige une dose de charge sous peine de perdre une journée.

La figure du paragraphe 2 montre exactement cette comparaison, protocole A à gauche.