Un comprimé par jour

Un comprimé par jour. Un médicament a une demi-vie de $12$ heures. Un patient en prend $100$ mg chaque matin. On note $u_n$ la quantité présente juste après la prise de rang $n$ (la première prise a le rang $0$, donc $u_0=100$).

• Déterminer le coefficient d'élimination $k$, puis montrer que $u_{n+1}=\frac{1}{4}{u}_n+100$.
• Calculer le pic et le creux du régime stationnaire, et l'amplitude.
• Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. Dès quelle prise la quantité juste après la prise dépasse-t-elle $90\%$ du pic stationnaire ?
• Quelle première dose (« dose de charge ») installerait d'emblée le régime stationnaire ?
• Le médecin remplace le protocole par $50$ mg toutes les $12$ heures. Pic, creux, valeur moyenne : qu'est-ce qui change, qu'est-ce qui ne change pas ?