Calculer $\log 3$ et $\log 7$ à la main

Calculer $\log 3$ et $\log 7$ à la main. On connaît $\log 2=0,30103$ et le module $\frac{1}{\ln 10}\approx 0,4343$. On admet que, pour $x$ proche de $0$, $\ln (1+x)\approx x$ (tangente en $0$), donc $\log (1+x)\approx 0,4343x$.

• En déduire $\log 4$, $\log 5$, $\log 8$ et $\log 50$.
• Remarquer que $3^4=81=80\times 1,0125$. En négligeant d'abord le facteur $1,0125$, donner une première valeur de $\log 3$.
• Corriger cette valeur à l'aide du module. Comparer à $\log 3=0,477121\dots$
• Procéder de même pour $\log 7$, à partir de $7^2=49=50\times 0,98$. Comparer à $\log 7=0,845098\dots$
• Les deux approximations sont-elles par excès ou par défaut ? Pourquoi ?