Caractéristique et mantisse

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 13 — Thème 3 — Approche historique de la fonction logarithme

Énoncé

Caractéristique et mantisse.

Une table donne $lo g 4, 827 = 0, 6837$ et $lo g 2 = 0, 30103$ .

En déduire $lo g 482, 7$ , $lo g 48270$ et $lo g 0, 004827$ .
Combien de chiffres compte $2^{100}$ ? Quel est son premier chiffre ?
Même question pour $2^{1000}$ .
Pourquoi la table ne contient-elle que les nombres de $1$ à $10$ ? Aurait-on pu faire la même économie avec le logarithme népérien ?

Corrigé

Trois lectures pour une ligne de table. Comme $lo g (1 0^{n} x) = n + lo g x$ :

$lo g 482, 7 = 2, 6837, lo g 48270 = 4, 6837, lo g 0, 004827 = 0, 6837 - 3 = - 2, 3163.$

La mantisse $0, 6837$ est la même dans les trois cas ; seule la caractéristique change.

Le nombre de chiffres de $2^{100}$ . On a

$lo g (2^{100}) = 100 lo g 2 = 30, 103.$

La caractéristique vaut $30$ , donc $1 0^{30} < 2^{100} < 1 0^{31}$ : $2^{100}$ s'écrit avec $31$ chiffres. La mantisse $0, 103$ donne le début des chiffres : $1 0^{0, 103} \approx 1, 268$ , donc $2^{100} \approx 1, 268 \times 1 0^{30}$ , et son premier chiffre est $1$ . (La valeur exacte est $1267650600228229401496703205376$ .)

$2^{1000}$ . $1000 lo g 2 = 301, 03$ : caractéristique $301$ , donc $302$ chiffres, et le nombre commence par $1 0^{0, 03} \approx 1, 07$ .
L'économie de la base dix. Tout réel strictement positif s'écrit $1 0^{n} \times m$ avec $1 \leq m < 10$ , et $lo g$ ajoute simplement l'entier $n$ : une seule page de mantisses suffit. Avec le logarithme népérien, passer de $x$ à $10 x$ ajouterait $ln 10 = 2, 302585 \dots$ , et passer à $1000 x$ ajouterait $ln 1000 = 6, 907755 \dots$ : des constantes irrationnelles qu'il faudrait additionner à la main. Aucune économie. Voilà pourquoi Briggs a changé de base.

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